Exercice 1 tp

Résoudre dans l'intervalle I=[-π;π]
l'équation (E):2cosx=√2.

Correction

On résout l(équation (E) dans IR.

(E) signifie cosx =	√2
	2

On a cos(	π	) =	√2
	4		2

Donc	ou	x =	π	+2kπ /k∈ℤ
			4
		x = -	π	+2k'π /k'∈ℤ
			4

On encadre ces solutions dans I=[-π;π].

(a)	-π≤	π	+2kπ	≤π
		4
signifie	-1≤	1	+2k	≤1
		4

signifie	-1-	1	≤+2k≤1-	1
		4		4
signifie	-5	≤k≤	3
	8		8

k∈ℤ donc k=0 ainsi x1 =	π
	4

(b)	-π≤	- π	+2k'π	≤π
		4

signifie	-1≤	-1	+2k'	≤1
		4
signifie	-3	≤k'≤	5
	8		8

k'∈ℤ donc k'=0 ainsi x2 =	-π
	4

alors S = {	-π	;	π	}
	4		4

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Exercice 2 tp

Résoudre dans I=[-π;π] l'équation
(E): 2cosx+√2=0.

Correction

d'abord on résout l'équation (E) dans IR.

(E) signifie que cosx = -	-√2
	2

On a cos(	3π	) = -	√2
	4		2

donc	ou	x =	3π	+2kπ /k∈ℤ
			4
		x= -	3π	+2k'π /k'∈ℤ
			4

On encadre ces solutions
dans I=[-π;π]

(a)	-π≤	3π	+2kπ	≤π
		4
signifie	-1≤	3	+2k	≤1
		4

signifie	-1-	3	≤+2k≤1-	3
		4		4
signifie		-7	≤k≤	1
		8		8

k∈ℤ donc k=0 ainsi x1 =	3π
	4

(b)	-π≤	- 3π	+2k'π	≤π
		4

signifie	-1≤	-3	+2k'	≤1
		4
signifie		-1	≤k'≤	7
		8		8

k'∈ℤ donc k'=0 ainsi x2 =	-3π
	4

alors S={	-3π	;	3π	}
	4		4

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