Exercice 1 tp

Résoudre dans I=[0;2π] les équations
(E1):2cosx-√2=0
(E2): 2cosx-1=0

Exercice 2 tp

Résoudre dans I=]-2π;2π] l'équation
(E): 2sinx = √2.

Correction

1) On résout l'équation (E) dans IR.

(E) signifie sinx =	√2
	2

sin(	π	) =	√2
	4		2

donc (E) signifie

sin x = sin	π
	4

signifie

ou	x =	π	+2kπ	(k et k'∈ℤ)
		4
	x = π-	π	+2k'π
		4

2) On encadre ces solutions
dans l'intervalle I=[-2π;2π].
(a) On encadre

π	+ 2kπ tel que k∈ℤ
4

(a)	-2π≤	π	+2kπ	≤2π
		4

signifie

-2≤	1	+2k	≤2
	4

Signifie

-2-	1	≤+2k≤2-	1
	4		4

signifie

-9	≤k≤	7
8		8

k∈ℤ donc k=-1 ou k=0

On a	x =	π	+2kπ	(k∈ℤ)
		4

ainsi x =	π	ou x =	-7π
	4		4

(b)	-2π≤	3 π	+2k'π	≤2π
		4

signifie

-2 ≤	3	+2k'	≤ 2
	4

Signifie

-2 -	3	≤+2k'≤ 2 -	3
	4		4

signifie	-11	≤k'≤	5
	8		8

k'∈ℤ donc k'=-1 ou k'=0

On a	x =	3π	+2k'π	(k'∈ℤ)
		4

ainsi x =	- 5π	ou x =	3π
	4		4

L'ensemble de solutions de l'équation (E) est donc

S = {	- 7π	;	-5π	;	π	;	3π	}
	4		4		4		4