2.2 Propriétés

2.2.1 Propriété 1

Trois points non alignés A ; B et C forment un plan de vecteur normal AB^→∧AC^→.

2.2.2 Propriété 2

Soient A ; B et C trois points dans l'espace E₃.
AB^→∧AC^→=0^→ ⇔ A ; B et C sont alignés.

Exercice tp 1

L'espace E₃ est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→). Soient A(1;1;-2) ; B(1;3;-1) et C(3;0;2) trois points de E₃.
1) Déterminer AB^→ ∧ AC^→.
2) Déduire que A ; B et C forment un plan (ABC).
3) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Correction

1) On a AB^→(0;2;1) et AC^→(2;-1;4).

=(2x4-1x(-1))i^→-(0x4-1x2)j^→+0x(-1)-2x2)k^→
=9i^→+2j^→-4k^→
ainsi AB^→∧AC^→(9;2;-4).
2) AB^→∧AC^→≠0^→ donc A ; B et C ne sont pas alignés et ils déterminent donc un plan (ABC) de vecteur normal AB^→∧AC^→(9;2;-4).

3) AB^→∧AC^→(9;2;-4) est un vecteur normal du plan (ABC) donc l'équation cartésienne du plan (ABC) s'écrit sous la forme
9x+2y-4z+d=0
A∈(ABC) donc le triplet (1;1;-2) vérifie l'équation du plan.
9.1+2.1-4.(-2)+d=0
ou encore 9+2+8+d=0 ou encore d=-19
ainsi 9x+2y-4z-19=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).

Exercice tp 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→). On considère les points A(2;1;4) ; B(3;1;1) et C(1;2;5).
1) Déterminer AB^→ ∧ AC^→.
2) Déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

Correction

1) On a AB^→(1;0;-3) et AC^→(-1;1;1).
AB^→∧AC^→ =

=3i^→+2j^→+k^→
ainsi AB^→∧AC^→(3;2;1).
2) AB^→∧AC^→≠0^→ donc A ; B et C ne sont pas alignés et ils déterminent donc un plan.

AB^→∧AC^→(3;2;1) est un vecteur normal du plan (ABC)
donc l'équation cartésienne du plan (ABC) s'écrit sous la forme
3x+2y+z+d=0.
C(1;2;5)∈(ABC)
donc 3.1+2.2+5+d=0 ou encore d=-12
ainsi 3x+2y+z-12=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).