Produit vectoriel (2)
2- Expression analytique du produit vectoriel
2.1 Coordonnées du produit vectoriel
2.1.1 Propriété
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct
(O;i→;j→;k→).
Soient u→(x;y;z) et v→(x';y';z') deux vecteurs.
u→∧v→ =
(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-yx')k→.
Et on écrit
u→∧v→(yz'-zy';-(xz'-zx');xy'-yx')
ou encore
| u→ ∧v → | yz'-zy' | |
| -(xz'-zx') | ||
| (xy'-yx') |
Démonstration
On a u→∧v→
=(xi→+yj→+zk→)∧(x'i→+y'j→+z'k→)
=xx'i→∧i→+xy'i→∧j→+xz'i→∧k→
+yx'j→∧i→+yy'j→∧j→+yz'j→∧k→
+zx'k→∧i→+zy'k→∧j→+zz'k→∧k→
=xx'O→+xy'k→-xz'j→
-yx'k→+yy'O→+yz'i→
+zx'j→-zy'i→+zz'O→
=(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-yx')k→
donc u→∧v→ =
(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-tx')k→
Remarque On peut utiliser les tableaux des déterminants pour se souvenir de la formule
| u→∧v→= | i→ | x | x' | |
| j→ | y | y' | ||
| k→ | z | z' |
| = | y | y' | i→ |
| z | z' | ||
| - | x | x' | j→ |
| z | z' | ||
| + | x | x' | k→ |
| y | y' | ||
=(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-yx')k→.
2.1.2 Exemple
Soient u→(2;1;0) et v→(1,2,4)∈V3.
Déterminons u→∧v→.
| u→∧v→ = | i→ | 2 | 1 | |
| j→ | 1 | 2 | ||
| k→ | 0 | 4 |
| = | 1 | 2 | i→ | - | 2 | 1 | j→ | |
| 0 | 4 | 0 | 4 | |||||
| + | 2 | 1 | k→ |
| 1 | 2 | ||
=(1x4-0x2)i→-(2x4-0x1)j→+(2x2-1x1)k→
=4i→-8j→+3k→
ainsi u→∧v→(4;-8;3).
2.1.3 Exemple
Soient u→(5;-2;1) et v→(2,7,-4) deux vecteurs de V3.
| u→∧v→ = | i→ | 5 | 2 | |
| j→ | -2 | 7 | ||
| k→ | 1 | -4 |
=((-2)x(-4)-1x7)i→ - (5x(-4)-1x2)j→
+ (5x7-(-2)x2)k→
= i→ + 22j→ + 39k→
ainsi u→∧v→(1 ; 22 ; 39).