Exercice tp 3

L'espace E₃ est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→). On considère les points A(2;2;1) ; B(1;3;2) et C(4;0;-1) de E₃.
1) Déterminer AB^→∧AC^→.
2) Est ce que A ; B et C déterminent un plan (ABC) ?

Correction

1) On a AB^→(-1;1;1) et AC^→(2;-2;-2).
(a) Première méthode on remarque que AC^→=-2AB^→ et cela signifie que AB^→ et AC^→ sont colinéaires
et donc AB^→∧AC^→ =0^→.
(b) Deuxième méthode on calcule
AB^→∧AC^→ =

=0i^→+0j^→+0k^→
ainsi AB^→∧AC^→(0;0;0) et cela signifie que AB^→ et AC^→ sont colinéaires.
2) AB^→∧AC^→=0^→ donc A ; B et C sont alignés et ils ne déterminent donc pas un plan.

2.3 Distance d’un point à une droite

2.3.1 Propriété

L'espace E₃ est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→). On considère un point B et une droite D(A;u^→).
La distance de A à (D) est définie comme suit

Démonstration Soit H le projeté orthogonal du point B sur (D).

On a donc
AB^→ ∧ u^→=(AH^→ + HB^→)∧u^→
=AH^→ ∧ u^→ + HB^→ ∧ u^→
AH^→ et u^→ sont colinéaires
donc AH^→ ∧ u^→ = 0^→.
Ainsi AB^→ ∧ u^→ = HB^→ ∧ u^→ alors

2.3.2 Exemple

L'espace E₃ est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→). On considère deux points A(2;0;1) et B(-2;1;2) et une droite D(A;u^→) tel que u^→(2;2;-1).
Calculer d(B;(D)).

Correction AB^→(-4;1;1)
AB^→∧u^→ =

= -3i^→-2j^→-10k^→
donc AB^→ ∧ u^→(-3;-2;-10)
et ||u^→||=3