(15) الاشتقاق والدوال الأصلية
للتذكير
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I
1) نقول ان دالة عددية F دالة اصلية للدالة f اذا تحقق ما يلي.
(a) F قابلة للاشتقاق على المجال I
(b) ∀x∈I: F'(x)=f(x)
2) اذا كانت F دالة اصلية للدالة f فان F+k حيث k∈IR هي دالة اصلية للدالة f
بالاضافة الى ذلك مجموعة الدوال الاصلية للدالة f على المجال I
هي مجموعة الدوال F+k حيث k∈IR.
3) لتكن n∈IN*
| f الدالة | F الدالة الاصلية | |||
| xn | 1 | xn+1+k / k∈IR | ||
| n+1 | ||||
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية بحيث f(x)=x+2
حدد مجموعة الدوال الأصلية للدالة f.
تصحيح
نعلم أن دالة أصلية للدالة x→x1 معرفة كما يلي
| 1 | x 1 + 1 | = | 1 | x² |
| 1 + 1 | 2 |
لدينا (2=2.1=2.x0) لأن (∀x≠0) x0=1
اذن الدالة x→2x
هي دالة أصلية للدالة x→2x0
وبالتالي مجموعة الدوال الأصلية للدالة f هي مجموعة الدوال F المعرفة على IR كما يلي
| F(x) = | 1 | x² + 2x + k | / k∈IR |
| 2 |
تمرين 2 tp
لتكن f دالة عددية بحيث f(x)=3x²+2x+1.
1) حدد مجموعة الدوال الأصلية للدالة f
2) حدد الدالة الأصلية الوحيدة G للدالة f
التي تحقق الشرط G(1)=2.
تصحيح
1) نعلم أن دالة أصلية للدالة x→3x2 معرفة كما يلي
| 3 | x 2 + 1 | = | 3 | x³ = x³ |
| 2 + 1 | 3 |
ونعلم أن دالة أصلية للدالة x→2x1 معرفة كما يلي
| 2 | x 1 + 1 | = | 2 | x² = x² |
| 1 + 1 | 2 |
لدينا (∀x≠0) x0=1
اذن الدالة x→x هي دالة أصلية للدالة x→x0
وبالتالي مجموعة الدوال الأصلية للدالة f هي مجموعة الدوال F المعرفة على IR كما يلي
F(x)=x³+x²+x+k بحيث k∈IR.
2) لدينا G دالة أضلية للدالة f اذن تكتب أيضا على الشكل التالي
G(x)=x³+x²+x+k بحيث k∈IR
ولدينا أيضا
G(1)=5 ⇔ 1³+1+1+k=5
⇔ 3+k=5 ⇔ k=5-3 =2
اذن k=2
وبالتالي G(x)=x³+x²+x+2 حيث x∈IR.