(16) الاشتقاق والدوال الأصلية
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية بحيث f(x)=-5x²+7x-3
1) حدد مجموعة الدوال الأصلية للدالة f
2) حدد الدالة الأصلية الوحيدة G للدالة f
التي تحقق الشرط G(0)=-4.
تصحيح
1) نعلم أن دالة أصلية للدالة x→-5x2 معرفة كما يلي
| -5 | x 2 + 1 | = | -5 | x³ |
| 2 + 1 | 3 |
ونعلم أن دالة أصلية للدالة x→7x1 معرفة كما يلي
| 7 | x 1 + 1 | = | 7 | x² |
| 1 + 1 | 2 |
لدينا (-3=-3.1=-3.x0) لأن (∀x≠0) x0=1.
اذن الدالة x→-3x هي دالة أصلية للدالة x→-3x0
وبالتالي مجموعة الدوال الأصلية للدالة f هي مجموعة الدوال F المعرفة على IR كما يلي
| F(x) = | -5 | x³ + | 7 | x² - 3x + k / k∈IR |
| 3 | 2 |
ملاحظة (∀x∈IR) F'(x)=f(x).
2) لدينا G دالة أصلية للدالة f اذن تكتب أيضا على الشكل التالي
| G(x) = | -5 | x³ + | 7 | x²-3x+k / k∈IR |
| 3 | 2 |
ولدينا أيضا
G(0)=-4 ⇔
-0+0-3.0+k=-4
⇔ 0 + k=-4 ⇔ k=-4
اذن k=-4
وبالتالي لكل x∈IR
| G(x) = | -5 | x³ + | 7 | x² - 3x - 4 |
| 3 | 2 |
تمرين 2 tp
لتكن f دالة عددية بحيث
| f(x) = | -1 |
| x² |
1) حدد مجموعة الدوال الأصلية للدالة f
2) حدد الدالة الأصلية الوحيدة G للدالة f
التي تحقق الشرط G(1)=5.
تصحيح
1) لدينا D=IR*
ولدينا أيضا لكل x∈D
| ( | 1 | )' = - | 1 |
| x | x² |
اذن لكل x∈D
| f(x) = ( | 1 | )' = - | 1 |
| x | x² |
وهذا يعني أن الدالة العددية
| x → | 1 |
| x |
هي دالة أصلية للدالة f وبالتالي مجموعة الدوال الأصلية F للدالة f معرفة كما يلي
| F(x) = | 1 | +k ; k∈IR |
| x |
2) لدينا G دالة أصلية للدالة f اذن تكتب أيضا على الشكل التالي
| G(x) = | 1 | + k | ; k∈IR |
| x |
ولدينا أيضا
G(1)=5 ⇔
1+k=5
⇔ k=5-1 ⇔ k=4
اذن k=4
وبالتالي لكل x∈IR*
| G(x) = | 1 | + 4 |
| x |