2.4 L'équation tanx = a tel que a∈IR

2.4.1 Cas particuliers

1) Si a=0 alors tanx=0 signifie
tanx=tan(0)=tan(π+0)=tan(π)
alors x=kπ tel que k∈ℤ.
2) Si a=1 alors tanx=1 signifie

tanx = tan	π	= tan(π +	π	)
	4		4

Signifie	ou	x =	π	+ 2kπ
			4
		x = π +	π	+ 2kπ
			4

signifie	ou	x =	π	+ 2kπ
			4
		x =	π	+ (2k+1)π
			4

2k représente les nombres pairs.
2k+1 représente les nombres impairs.

Le nombre k représente les deux.

tanx=1 signifie x =	π	+ kπ / k∈ℤ
	4

2.4.2 Propriété

Soient x∈IR et a∈IR

Si x ≠	π	+ kπ ; k∈ℤ
	2

alors il existe un réel

y ≠	π	+ kπ/ tany=a et k∈ℤ
	2

Et de plus x=y+kπ tel que k∈ℤ.
S={y+kπ/ k∈ℤ et tany=a}.

2.4.3 Exemple 1

Résoudre dans IR l'équation
(E): (√3)tanx+1=0.

Correction
Notons que tanx∈IR si

x ≠	π	+ kπ tel que k∈ℤ
	2

(E) signifie tanx =	- √3
	3

On a

tan(	-π	)=	- tan(	π	)=	- √3
	3			3		3

donc tanx = tan	-π
	3

ainsi x=	-π	+kπ/ k∈ℤ
	3

-π	≠	π	+kπ tel que k∈ℤ
3		2

alors l'ensemble des solutions de (E)

S = {	-π	+kπ/ k∈ℤ}
	3

2.4.4 Exemple 2

Résoudre dans IR l'équation
(E): tanx=-1.

Correction
(E) signifie

tanx = - tan	π	= tan	(-π)
	4		4

signifie

x =	- π	+ kπ	tel que k∈ℤ
	4

On a pour tout k∈ℤ

- π	+ kπ ≠	π	+ kπ
4		2

donc

S = {	- π	+ kπ tel que k∈ℤ}
	4