Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'équation
(E): (√2)sinx-1=0.

Correction

(E): (√2)sinx-1=0 signifie

sinx =	√2
	2

on sait que

sin(	π	) =	√2
	4		2

Donc

ou	x =	π	+2kπ	k et k'∈ℤ
		4
	x = (π-	π	)+2k'π
		4

alors l'ensemble des solutions de (E)

S = {	π	+2kπ ;	3π	+2k'π/k et k'∈ℤ}
	4		4

2.3 L'équation cosx= a

2.3.1 Cas particuliers

1) Si a=0 alors cosx=0 signifie

cosx = cos	π	= cos	- π
	2		2

signifie

ou	x =	π	+ 2kπ	k et k'∈ℤ
		2
	x =	- π	+ 2k'π
		2

Signifie

x =	π	+ kπ tel que k∈ℤ
	2

2) Si a=1 alors cosx=1 signifie
cosx=cos0=cos(-0) signifie x=2kπ
donc cosx=1 signifie x=2kπ tel que k∈ℤ.
3) Si a=-1 alors
cosx=cos-π=cosπ
donc x=-π+2kπ ou x=π+2kπ.

On a π ≡ -π[2π]
donc cosx=-1 signifie x=π+kπ.

2.3.2 Propriété

Soient x∈IR et a∈IR. On considère l'équation (E): cox=a et S son ensemble des solutions dans IR.
1) Si a>1 ou a<-1 l'équation n'a pas de solution.
2) Si -1≤a≤1 il existe un réel y tel que cos(y)=a et de plus
(x=y+2kπ) ou (x=- y+2kπ) tel que k∈ℤ.
S={y+2kπ;-y+2kπ/k et k'∈ℤ et cosy=a}.

Exercice 2

Résoudre dans IR l'équation
(E): 2cosx-1=0.

Correction

(E): 2cosx-1=0 signifie

cosx =	1
	2

On sait que

cos(	π	) =	1
	3		2

Donc

ou	x =	π	+2kπ	k et k'∈ℤ
		3
	x = -	π	+2k'π
		3

alors l'ensemble des solutions de (E)

S = {	π	+2kπ ;	-π	+2k'π/k et k'∈ℤ}
	3		3