Calcul de probabilités (7)
Exercice 1 tp
Un coach sportif veut choisir au sort 2 joueurs parmi 15 joueurs pour participer à une prochaine match
10 locaux et 5 professionnels
1) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants
E: les locaux ne participent pas
U: les deux professionnels ne participent pas
G: les deux professionnels participent ensemble
H: au plus un professionnel participe
2) Supposons que le coach répéte le choix deux fois pour une raison quelconque
On considère la variable aléatoire X déterminée par le nombre de fois que l'événement G est réalisé
(a) Déterminer la loi de probabilité de X
(b) Calculer l'espérence mathématique E(X) et la varience V(X)
Correction
1) Dans cette experience , il n' y a ni ordre ni répétition, il s'agit donc des combinaisons
cardΩ = |
C | 2 15 |
= |
A | 2 15 |
= 105 |
| 2! | ||||||
E: les locaux ne participent participent pas
signifie les deux professionnels participent
cardE = |
C | 2 5 |
= |
A | 2 5 |
= 10 |
| 2! | ||||||
Ainsi
p(E) = |
C | 2 5 |
= |
2 |
| 105 | 21 | |||
U: les deux professionnels ne participent pas
cela veut dire que le choix sera sur les locaux seulement
cardU = |
C | 2 10 |
= |
A | 2 10 |
= 45 |
| 2! | ||||||
Ainsi
p(U) = |
C | 2 10 | = | 45 | = | 3 |
| 105 | 105 | 7 | ||||
G: un seul professionnel participe
cela signifie que 1 professionnel et 1 local participent
| cardG = | C | 1 5 |
× | C | 1 10 |
= 50 |
Donc
p(G) = |
C | 1 5 | × | C | 1 10 | = | 50 |
| 105 | 105 | ||||||
| Ainsi | p(G) = | 10 |
| 21 |
H: au plus 1 professionnel participe
signifie
(1 local et 1 professionnel participent)
ou (2 locaux participent)
cardH =
| C | 1 5 |
C | 1 10 |
+ | C | 2 10 |
Donc cardH = 50 + 45 = 95
| Ainsi p(H) = | 95 | = | 19 |
| 105 | 21 |
2) Loi de probabilité de X est une loi binomiale car
cette expérience consiste à répéter le test deux fois de suite
Ainsi, l'événement G peut ne pas être réalisé dans cette expérience ou être réalisé une ou deux fois
Donc X(Ω) = {0 ; 1 ; 2}
| p(X=k) = | C | k 2 | (p(G))k(1 - p(G))2-k |
| On a | p(G) = | 10 |
| 21 |
| p(X=0) = | C | 0 2 | (p(G))0(1 - p(G))2-0 |
| = | 1( | 11 | )² |
| 21 |
| Donc p(X=0) = | 121 | ||
| 441 |
| p(X=1) = | C | 1 2 | (p(G))1(1 - p(G))2-1 |
| = 2 | 10 | × | 11 |
| 21 | 21 |
| Donc p(x=1) = | 220 | ||
| 441 |
| p(X=2) = | C | 2 2 | (p(G))2(1 - p(x=2))2-2 |
| = | 1( | 10 | )² |
| 21 | |||
| Donc p(X=2) = | 100 | ||
| 441 |
Ainsi la loi de probabilité de X est définie par le tableau suivant
| X = xi | 0 | 1 | 2 | Somme | ||||
| p(X = xi | 121 | 220 | 100 | 1 | ||||
| 441 | 441 | 441 |
(b) Puisque la loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramétre n=2 et p=p(G) alors
E(X)= np
Ou encore
| E(X) = | 20 |
| 21 |
Et V(X) = np(G)(1-p(G)) ou encore
| V(X) = 2 | 10 | × | 11 |
| 21 | 21 | ||
| Donc V(X) = | 220 | ||
| 441 |