Limites et Continuité (15)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définue par
| f(x) = | ∛(x²+4) - 2 |
| x + 2 |
Montrer que f est prolongeable par continuité au point -2.
Correction
On cherche la limite de f au point -2.
lim -2 | f(x) = | lim -2 |
∛(x²+4) - 2 |
| x + 2 |
Pour se débarasser de la forme indéterminée, on utilise l'identité remarquable suivante
a³-b³ = (a - b)(a² + ab + c²)
| donc | lim -2 |
f(x) = |
lim -2 |
(∛(x²+4))³ - 2³ |
| (x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4) |
| = | lim -2 |
x² + 4 - 8 |
| (x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4) | ||
| = | lim -2 |
(x -2)(x + 2) |
| (x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4) | ||
| = | lim -2 |
x - 2 |
| ∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4 |
on a
lim -2 | ∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4 = 12 |
Donc
lim -2 | f(x) = | -2 - 2 | = | - 1 |
| 12 | 3 |
et donc f admet une limite finie au point -2 alors f est prolongeable par continuité au point -2 et sa prolongement la fonction g définie par
| g(x) = | ∛(x²+4) - 2 | si x ≠ -2 | |
| x + 2 | |||
| g(-2) = | -1 | si x = -2 | |
| 3 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x/3 - 2 |
| 2x - 8 |
Montrer que f est prolongeable par continuité au point 3.
Correction
On cherche la limite de f au point 3
Notons que 2x/3 = ∛(2x)
| Donc f(x) = | ∛(2x) - 2 |
| 2x - 8 |
Pour se débarasser de la forme indéterminée on utilise l'identité remarquable suivante
a³-b³ = (a - b)(a² + ab + c²)
| donc | lim 3 |
f(x) = |
lim 3 |
(∛(2x))³ - 2³ |
| (2x -8)(∛(2x))² + 2.∛(2x) + 4) |
| = | lim 3 |
2x - 8 |
| (2x - 8)(∛(2x)² + 2.∛(2x) + 4) | ||
| = | lim 3 |
1 |
| ∛(2x)² + 2.∛(2x) + 4) |
On a
lim 3 |
∛(2x))² + 2.∛(2x) + 4 = 12 |
| donc | lim 3 |
f(x) = | 1 |
| 12 |
Et donc f admet une limite finie au point 3 alors f est prolongeable par continuité au point 3 et sa prolongement la fonction g définie par
| g(x) = | ∛(2x) - 2 | si x ≠ 3 | |
| 2x - 8 | |||
| g(3) = | 1 | si x = 3 | |
| 12 |