3.5 Puissances rationnelles d'un nombre réel strictement positif

3.5.1 Définition

Soit x∈IR^+* et r∈ℚ* tel que

Le nombre x^r est appelé puissance rationnelle de x
et on écrit x^r = ^q√x^p.

Exemple
3^2/5 = ⁵√3².
2^4/3 = ³√2⁴.
π^-5/7 = ⁷√π^-5.

3.5.2 Propriété 1

Soit x∈IR^+* et r∈Q*.
La fonction x→ x^r est continue sur IR^+*.

3.5.3 Propriété 2

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et r;r'∈ℚ*.

3.5.2 Propriétés

Soient x et y deux réels strictement positifs et r;r'∈ℚ*.

3.5.3 Propriété

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et r∈ℚ*.
Si f est continue et strictement positive sur I alors la fonction f^r est continue sur I.

Exemple 1
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²+1)^2/3.
x→ x²+1 est strictement positive sur IR de plus elle est continue sur IR car c'est un polynôme
ainsi la fonction f est continue sur IR.

Exemple 2
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²-1)^3/4.
D = {x∈IR /x²-1 > 0}

donc D=]-∞;-1[∪]1;+∞[.
x→ x²-1 est strictement positive sur D de plus elle est continue sur D car c'est une restriction d'une fonction polynôme
ainsi la fonction f est continue sur D.

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'équation (E)
5^(4-x)/x = 25^2/x².

Correction

L'équation (E) est définie si x≠0
donc D = IR*. Soit x ∈IR*
(E) ⇔ 5^(4-x)/x = 5^2.2/x²

donc (E) ⇔ X² - 2X + 1 = 0
⇔ (X-1)² = 0 ⇔ X = 1