Calcul intégral (8)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie sur [0 ; π/2] par
| f(x) = | sin(2x) |
| 1+cos(x) |
Calculer l'integrale
| π/2 ∫ 0 | f(x) | dx |
Correction
Les fonction cos et sin sont continues sur IR et en particulier sur I donc f est continue sur I et donc elle admet dees primitives sur I
| π/2 ∫ 0 |
f(x) dx = | π/2 ∫ 0 |
2sin(x)cos(x) | dx |
| 1+cos(x) |
On pose t = cos(x) donc dt = -sin(x)dx
x=0 ⇒ t=1 et x=π/2 ⇒ t=0
| π/2 ∫ 0 |
f(x) dx = | 0 ∫ 1 |
-2t | dt |
| 1+t |
| = | 1 ∫ 0 |
2t | dt = | 1 ∫ 0 |
(2 - | 2 | )dt |
| 1+t | 1+t |
| = [ 2x - ln|1+t|] | 1 0 |
| = | 2 - ln(2) -(0 - ln(1)) |
| Ainsi | π/2 ∫ 0 | f(x) | dx | = 2 - ln(2) |
Exercice 2 tp
1) Montrer que ∀t∈I=[1 ; e]
| 1 | = | 1-t | + | 1 |
| t²(1+t) | t² | 1+t |
2) Calculer
| K = | 1 ∫ 0 |
1 | dx |
| ex(1+ex) |
Correction
1) Soit t∈I=[1 ; e]
| 1-t | + | 1 | = | (1+t)(1-t) + t² |
| t² | 1+t | t²(1+t) |
| = | 1-t²+t² | = | 1 | |
| t²(1+t) | t²(1+t) |
Donc ∀t∈I
| 1 | = | 1-t | + | 1 |
| t²(1+t) | t² | 1+t |
2) Calcul K les fonctions x→ex et x→1+ex sont continues sur IR et ne s'annulent pas donc leurs inverses sont continues sur IR ainsi f est continue sur IR en particulier sur [0 ; 1] et donc f admet des parimitives sur [0 ; 1]
On pose t = ex donc dt = exdx
(x=0 ⇒ t=1) et (x=1 ⇒ t=e)
| K = | e ∫ 1 |
1 | dt |
| t(1+t) | t |
Ou encore
| K = | e ∫ 1 |
1 | dt |
| t²(1+t) |
En utilisant la question précédente on obtient
| 1 ∫ 0 |
1 | dx = | e ∫ 1 |
1-t | + | 1 | dt |
| ex(1+ex) | t² | 1+t |
| = | e ∫ 1 |
1 | - | 1 | + | 1 | dt |
| t² | t | 1+t |
Donc
| K = [ | -1 | - ln(t) | + ln(1+t)] | e 1 |
| t |
Ou encore
| K = | -1 | + 1 - ln(e)+ ln(1+e) - ln(2) |
| e |
Ainsi
| K = | -1 | + ln(1+e) - ln(2) |
| e |