Exercice 1 tp

1) Montrer que x²+2x+2=1+(x+1)²
2) On considère l'intégrale suivante

I =	0 ∫ -1	1	dx
		x²+2x+2

(a) Vérifier que

I =	1 ∫ 0	1	dt
		1 + t²

(b) Calculer I

Correction

1) x²+2x+2 = (x² +2.1x + 1²) + 1
= 1 + (x+1)²
Donc x² + 2x + 2 = 1 + (x+1)²
2) (a) Puisque x² + 2x + 2 = 1 + (x+1)²
on pose x+1=t donc (x+1)'dx=dt
Notons que dx pour la variable x et dt pour la variable t
Si x=-1 alors t=0
Si x=0 alors t=1

Donc I =	0 ∫ -1	1	dx
		x²+2x+2
=	0 ∫ -1	1	dx
		1 + (x+1)²

Ainsi I =	1 ∫ 0	1	dt
		1 + t²

(b) Notons que la fonction arctan est dérivable sur IR donc dérivable sur l'intervalle [0 ; 1]

Et de plus ∀t∈[0 ; 1]

(artctan)'(t) =	1
	1 + t²

donc

I =

[ arctan(t)]

1 0

= arctan(1) - arctan(0)

Ainsi I =	π
	4

Exercice 2 tp

1) Montrer que 5x²-2x√(5)+2=1+((x√5)-1)²
2) Calculer l'intégrale suivante

I =	0 ∫ -1	√(5)	dx
		5x²-(2√5)x+2

Correction

1) 1+((√5)x-1)² = 1 + 5x² - 2(√5)x + 1
= 5x² - 2x√(5) + 2
Donc 5x²-2(√5)x+2=1+((√5)x-1)²
2) On a 5x²-2x√(5)+2=1+((√5)x-1)²
On pose donc (√5)x-1=t

Donc ((√5)x-1)'dx=dt ou encore (√5)dx=dt
Si x=2/√(5) alors t=1
Si x=0 alors t=-1
Donc

I =	2/√(5) ∫ -1	√(5)	dx
		5x²-2(√5)x+2
=	2/√(5) ∫ 0	√(5)	dx
		1 + ((√5)x-1)²

Ainsi

I =	1 ∫ -1	1	dt
		1 + t²

(b) Notons que la fonction arctan est dérivable sur IR donc dérivable sur l'intervalle [0 ; 2/√(5)] et de plus ∀t∈[0 ; 2/√(5)]

(artctan)'(t) =	1
	1 + t²

donc

I =

[ arctan(t)]

1 -1

= arctan(1) - arctan(-1)

=	π	-	- π
	4		4

Ainsi I =	π
	2