Nombres complexes (8)
Rappel
1) Dans le plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O;u→;v→), on considère quatre points distincts A(a); B(b); C(c) et D(d)
(u→ ; AB→) = argz'-argz+2kπ tel que k∈ℤ
| (AB→ ; CD→) ≡ arg | d-c | [2π] |
| b-a |
2) Trois points distincts A(a) ; B(b) et C(c) sont alignés
| ⇔ | c-a | ∈IR |
| b-a |
| ⇔ arg | c-a | =0 ou π+2kπ |
| b-a |
3) (AB)⊥(CD) ⇔
| arg | c-a | ≡ | π | ou | -π | [2π] |
| b-a | 2 | 2 |
Exercice 1 tp
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u→;v→), on considère trois points A(a) ; B(b) ; C(c) tels que a=1
| b= | 1 | - i | √3 |
| 2 | 2 | ||
| c= | 1 | + i | √3 |
| 2 | 2 |
1) Calculer les distances AB ; AC et BC
2) Déterminer une mesure de l'angle
(AB ; AC)
Correction
1) AB=|b-a|=|(0,5-1)-i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)
Ainsi AB = 1
AC=|Zc-Za|=(0,5-1)+i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)
Ainsi AC = 1
BC=|Zc-Zb|=|(0,5-0,5)+i(√3)|
Ainsi BC = 3
2) Mesure de l'angle (AB ; AC)
| (AB→ ; AC→) ≡ arg | c-a | [2π] |
| b-a | ||
| ≡ arg | -0,5+i(0,5)√3 | [2π] |
| -0,5-i(0,5)√3 |
≡ arg(-0,5+i(0,5)√3)
- arg(-0,5-i(0,5)√3)
| ≡ | 2π | - | (-2π) |
| 3 | 3 |
Donc
| (AB→ ; AC→) = | 4π | +2kπ , k∈ℤ |
| 3 |
Ou encore
| (AB→ ; AC→) = | -2π | +2kπ , k∈ℤ |
| 3 |
Exercice 2 tp
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u→;v→), on considère trois points A(a) ; B(b) ; C(c) tels que
a = 1 + i ; b = 2i et c = -3 + 5i
1) Déterminer une mesure de l'angle
(AB ; AC)
2) Déduire que les points A ; B et C sont alignés
Correction
1) Mesure de l'angle (AB ; AC)
| (AB→ ; AC→) ≡ arg | -(3+5i)-(1+i) | [2π] |
| 2i-(1+i) | ||
| ≡ arg | 4(-1+i) | [2π] |
| -1+i |
≡ arg(4)[2π] ≡ arg(4(1 + 0i)
Ainsi (AB ; AC) ≡ 0[2π]
2) (AB ; AC) ≡ 0[2π] signifie que A ; B et C sont alignés