Nombres complexes (6)
Exercice 1 tp
Soit x∈IR
Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexes suivant
| z1 = | -1-i |
| 1-i√(3) |
Correction
On pose a = -1-i et b=1-i√(3)
1) Argument de a
On a: |a| = √((-1)² + (-1)²) = √(2)
(∃θ∈IR) tel que a =√(2)(cosθ + isinθ)
Donc
| a = √(2)( | -1 | + i | -1 | ) |
| √(2) | √(2) | |||
| = √(2)( | -√(2) | + i | -√(2) | ) |
| 2 | 2 |
| Et donc { | cos(θ) = | -√(2) |
| 2 | ||
| sin(θ) = | -√(2) | |
| 2 |
Ou encore
| { | cos(θ) = cos( | 3π | ) |
| 4 | |||
| sin(θ) = sin( | 3π | ) | |
| 4 |
Donc il suffit de prendre
| θ ≡ | 3π |
| 4 |
Et donc
| arg(a) ≡ | 3π | [2π] |
| 4 |
2) Argument de b
On a: |b| = √(1² + (-√(3))²) = √(4) = 2
(∃α∈IR) tel que b = 2(cosα + isinα)
Donc
| b = 2( | -1 | + i | -√(3) | ) |
| 2 | 2 |
| Et donc { | cos(α) = | 1 |
| 2 | ||
| sin(α) = | -√(3) | |
| 2 |
Ou encore
| { | cos(α) = cos( | -π | ) |
| 3 | |||
| sin(α) = sin( | -π | ) | |
| 3 |
Donc il suffit de prendre
| α ≡ | -π |
| 3 |
Et donc
| arg(b) ≡ | -π | [2π] |
| 3 |
Forme trigonométrique de z1, on a
| z1 = | a |
| b |
Donc
| z1 = [ | √(2) | ; | 3π | - | -π | ] |
| 2 | 4 | 3 |
ou encore
| z1 = [ | √(2) | ; | 13π | ] |
| 2 | 12 |
Ainsi
| z1 = | √(2) | (cos | 13π | + isin | 13π | ) |
| 2 | 12 | 12 |
Remarque
| { | |z1| = | √(2) | |
| 2 | |||
| arg(z1) ≡ | 13π | [2π] | |
| 12 |