للتذكير
1) نقول ان (u_n)_n∈I متتالية هندسية اذا كان
u_n+1=qu_n حيث n∈I والعدد q يسمى أساسا لها.

اذا كان حدها الأول u₀ فان u_n=u₀qⁿ.
واذا كان حدها الأول u₁ فان u_n=u₁q^(n-1).

2) لتكن (u_n)_n≥pمتتالية هندسية
و S=u_p+u_p+1+ .. +u_n.
لدينا n-p+1 عدد حدود المجموع S

تمرين 1 tp

لتكن (u_n)_n≥1 متتالية هندسية اساسها 3 وحدها الاول 1
1) أكتب u_n بدلالة n.
2) أحسب المجموع
S=u₁+u₂+u₃+u₄+u₅.

تصحيح

1) (u_n)_n≥1 متتالية هندسية اذن u_n=u₁q^n-1
لدينا q=3 و u₁=1 اذن u_n=3^n-1.
2) 5-1+1=5 عدد حدود المجموع S

وبالتالي S=121.

تمرين 2 tp

احسب اساس متتالية هندسية حدها الاول 4 وحده الثاني 20.

تصحيح

نرمز مثلا للحد الاول ب u₀ للحد الاول للمتتالية (u_n)_n≥0
لدينا اذن u₀=4 والحد الثاني u₁=20
نعلم ان المتتالية هندسية اذن u_n+1=qu_n حيث q اساس لها
ومنه فان u₁=qu₀ أي 20=4q
اذن اساس المتتالية q=5.

تمرين 3 tp

لتكن (u_n)_n≥1 متتالية هندسية اساسها q
حيث q>0 و u₃=75 و u₅=1875.
احسب الأساس q والحد u₁.

تصحيح

1) لدينا (u_n)_n≥1 متتالية هندسية أساسها q
اذن u_n=u_pq^n-p حيث 1≤p≤n
ومنه فان u₅=u₃q^5-3 أي 1875=75q²
أي q²=25 وبما أن q>0 فان q=5
2) لدينا u₃=u₁q² اي 75=25u₁ اذن u₁=3.

تمرين 4 tp

لتكن (u_n) متتالية هندسية أساسها q=5 وحدها الأول u₀=2
1) اكتب u_n بدلالة n
2) حدد من بين الأعداد 50 و 100 و 250 التي تمثل حدودا للمتتالية (u_n).
3) احسب بدلالة n المجموع
S=u₀+u₂+ .. +u_n-1.

تصحيح

1) (u_n) متتالية هندسية اذن u_n=u₀qⁿ
ومنه فان u_n=2×5ⁿ.

2) يعتبر عدد حقيقي x حدا للمتتالية (u_n)
اذا وجد عدد طبيعي n بحيث x=2×5ⁿ
(a) 50=2×5ⁿ ⇔ 25=5ⁿ ⇔ 5²=5ⁿ
اذن n=2 وبالتالي 50 حد للمتتالية (u_n).
(b) 100=2×5ⁿ ⇔ 50=5ⁿ
العدد n لا يوجد في IN اذن 100 ليس حدا للمتتالية (u_n).
(c) 250=2×5ⁿ ⇔ 125=5ⁿ ⇔ 5³=5ⁿ
اذن n=3 وبالتالي 250 حد للمتتالية (u_n).

3) (n-1)-0+1=n عدد حدود المجموع S