2.5.2 Exemple 2

Résoudre dans I=]-2π;2π] l'équation
(E): 2sinx = √2.

Correction
1) On résout l'équation (E) dans IR.
(E): 2sinx=√2 signifie

sinx =	√2
	2

on a sin(	π	) =	√2
	4		2

Donc (E) signifie

sin x = sin	π
	4

signifie

ou	x =	π	+2kπ	(k et k'∈ℤ)
		4
	x = π-	π	+2k'π
		4

2) On encadre ces solutions
dans l'intervalle I=[-2π;2π].
(a) On encadre

x =	π	+ 2kπ tel que k∈ℤ
	4

-2π≤	π	+2kπ	≤2π
	4

signifie

-2≤	1	+2k	≤2
	4

Signifie

-2-	1	≤+2k≤2-	1
	4		4

signifie

-9	≤k≤	7
8		8

k∈ℤ donc k=-1 ou k=0 ainsi

x =	π	ou x =	-7π
	4		4

(b) On encadre

x =	3 π	+ 2k'π tel que k'∈ℤ
	4

-2π≤	3 π	+2k'π	≤2π
	4

signifie

-2 ≤	3	+2k'	≤ 2
	4

Signifie

-2 -	3	≤+2k'≤ 2 -	3
	4		4

signifie

-11	≤ k' ≤	5
8		8

k'∈ℤ donc k'=-1 ou k'=0

Ainsi

x =	- 5π	ou x =	3π
	4		4

alors

S = {	- 7π	;	-5π	;	π	;	3π	}
	4		4		4		4