Produit scalaire de deux vecteurs

1.1 Définition et propriétés

1.1.1 Activité

Soit ABCD un parallélogramme tels que AB= 5 ; AD=3√2 et Â=45°. On considère D' et C' les projetés orthogonaux respectifs de D et C sur (AB).
1) Tracer D' et C'.
2) Calculer AD' et AB×AD'.

Le nombre réel AB×AD' est appelé le Produit scalaire des vecteurs AB^→ et AD^→ et est noté AB^→.AD^→.
3) Calculer BC' et -BA×BC'.
le nombre réel -BA×BC' est appelé le Produit scalaire des vecteurs BA^→ et BC^→ et est noté BA^→.BC^→.

Remarque
On a AD'=ADcos(AB^→;AD^→)
donc AB^→.AD^→=AB×ADcos(AB^→;AD^→).

1.1.2 Définition

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs tels que u^→=AB^→ et v^→=AC^→ et soit C' le projeté orthogonal de C sur (AB).
Le Produit scalaire de u^→ et v^→, noté u^→.v^→ est un nombre réel défini par
1) Premier cas u^→ et v^→ sont colinéaires alors
(a) Si u^→ et v^→ sont de même sens alors
u^→.v^→=AB×AC.

(b) Si u^→ et v^→ sont de sens opposé alors
u^→.v^→=- AB×AC.
2) Deuxième cas u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires
alors u^→.v^→=AB^→.AC'^→.

Remarque
Si AB^→ et AC'^→ sont de sens contraire alors u^→.v^→=-AB×AC'.
Si AB^→ et AC'^→ sont de même sens alors u^→.v^→=AB×AC'.

Exemple
Soit ABCD un carré de centre O et de coté 3. Calculer

Correction
1) AB^→.AC^→ = ?
B est le projeté orthogonal de C sur (AB)
donc AB^→.AC^→=AB×AB =AB=9.

2) AB^→ et DC^→ sont égaux donc sont colinéaires et de même sens
alors AB^→.DC^→=AB²=9.

3) OC^→.OA^→ = ?
Puisque OC^→ et OA^→ sont opposés alors

AC²=AB²+BC²=9+9=18 alors

4) AD^→ et CB^→ sont opposés donc sont colinéaires et de sens contraires
alors AD^→.CB^→=-AD×CB=-AD²=-9.