Exercice 1 tp

On considère deux polynômes
p(x)=x²-2x et q(x)= 1-x.
1) Soit h(x)=- x³+3x²-2x
Montrer que h(x)=p(x).q(x).
2) Déterminer les racines de h(x).

Exercice 2 tp

On considère deux polynômes
p(x)= 2x³-x²-2x +2
et q(x)=2x³+(a+b)x²+(2a-b)x+2.
Déterminer a et b sachant que p(x)=q(x).

Correction

p(x)	2x³	-x²	-2x	+2
q(x)	2x³	+(a+b)x²	+(2a-b)x	+2
p(x)=q(x)	2=2	(a+b)=-1	(2a-b)=-2	2=2

On résout le système suivant

{	a+b = -1
	2a-b = -2

On fait la somme membre à membre des deux équations.
On obtient a+b+2a-b=-1+(-2)
ou encore 3a=-3 donc a=-1.
Puis on remplace la valeur de a dans l'une des équations.
-1+b=-1 donc b=0
ainsi p(x)=q(x) si a=-1 et b=0.

Exercice 3 tp

Soit a∈IR
p(x)=x³+(3-a²)x²+x+a+3
et q(x)=x³-x²+x+2a+1 deux polynômes.
Déterminer a tel que
pour tout x∈IR on a p(x)=q(x).

Exercice 4 tp

1) Vérifier que
x²-7x+10=(x-2)(x-5)
et x²+7x-18=(x-2)(x+9).
2) Soit a∈IR
p(x)=7ax²+(3-a²)x-10.
Déterminer a sachant que
p(1)= 3 et p(-1)=5.

Exercice 5 tp

Soit p(x)=x²-3x+2
1) Réaliser la division euclidienne
de p(x) par x-1.

2) Déduire les racines de p(x).
3) Factoriser p(x).

Correction

1) p(1)=1³-3.1+2=0
donc 1 est une racine de p(x)
ainsi p(x) est divisible par x-1.

x²	-3x	+2	x	-1
-x²	+x		x	-2
+0	-2x	+2
	+2x	-2
	0	+0

2) Le quotient q(x)=x-2 et le reste r=0
donc p(x) est divisible par x-2 et cela signifie que 2 est une racine de p(x)
et puisque le degré de p(x) est 2 alors le nombre de racines ne dépasse pas 2 ainsi 1 et 2 sont les racines de p(x).
3) Factorisation de p(x)
p(x)=(x-1)(x-2).