La droite dans le plan (8)
Exercice 1 tp
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère dans ℙ une droite (D) définie par une représentation paramétrique suivantes
| { | x = -1 + 3t | (t∈IR) |
| y = t |
1) Déterminer l'équation réduite de la droite (D) et déduire son coefficient directeur.
2) Soit (D') une droite perpendiculaire à (D) et passe par le point A(-1;1).
(a) Déterminer une équation cartésienne de (D').
(b) Déterminer le point de rencontre de (D) et (D').
Correction
1) Equation réduite de (D)
| { | x = -1 + 3t | signifie { | x+1 =3t |
| y = t | y = t |
signifie
| { | x+1 | =t | |
| 3 | |||
| y = t |
| donc | x+1 | = y |
| 3 |
ainsi
| (D): y = | 1 | x + | 1 |
| 3 | 3 |
alors m= 1÷3 est le coefficient directeur de la droite (D).
2) (a) On a (D)⊥(D') donc (1÷3)×m'=-1 ainsi m'=-3
l'équation de (D') s'écrit sous la forme
(E'): y = -3x+p.
A∈(D') donc le couple (-1;1) vérifie (E')
1 = -3.(-1)+p ou encore p = -2
alors y= -3x-2 est l'équation réduite de (D')
(3x+y+2=0 équation cartésienne de (D')).
(b) Déterminons B le point de rencontre.
Il suffit de résoudre le système suivant
| { | x = -1 + 3t | (1) | (t∈IR) |
| y = t | (2) | ||
| 3x+y+2=0 | (3) |
En remplaçant x et y dans l'équation (3) on obtient
3(-1+3t)+(t)+2=0
ou encore 10t-1=0 donc t=0,1.
Puis on remplace la valeur de t dans les équations (1) et (2).
| { | x = -1 +3 | 1 |
| 10 | ||
| y = | 1 | |
| 10 |
donc
| B( | -7 | ; | 1 | ) |
| 10 | 10 |
Exercice 2 tp
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). Soit (D) une droite de vecteur directeur u→(-2;5) et passant par A(0;-5).
1) Déterminer une représentation paramétrique de (D).
2) Soit (D') une droite définie par
| { | x=1-t | (t∈IR) |
| y=2+2t |
Etudier la postion relative de (D) et (D').