Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (1)

Exercice 1 tp

Soit (un) une suite définie par
un = n - √n

Calculer
lim
+∞
(un)
Correction

Puisque +∞-∞ est une forme indéterminée on ne peut pas utiliser directement les Opérations sur les limites mais on doit utiliser autre méthode

méthode (1) On a n=(√(n))² donc


lim
+∞
n - √n =
lim
+∞
(√(n))² - √n
=
lim
+∞
√(n)(√(n) - 1)

On a

{
lim
+∞
√(n) = +∞

lim
+∞
√(n) - 1 = +∞ - 1 = +∞

Et puisque (+∞) ×(+ ∞) = + ∞ alors


lim
+∞
n - √n = +∞

méthode (2)


lim
+∞
n - √n =
lim
+∞
n(1 - √(n))
n
=
lim
+∞
n(1 - 1)
√(n)
= +∞(1 - 0) = +∞
Exercice 2 tp

Soit (un)n≥2 une suite définie par

un =
2n²-5
Calculer
lim
+∞
(un)
Correction

lim
+∞
=
lim
+∞
2n²-5n²(2 - 5/n²)
=
lim
+∞
1
(2 - 5/n²)
=

1

lim
+∞
(2 - 5/n²)
On a
lim
+∞
5 = 0

lim
+∞
= 1
2n²-52
Exercice 3 tp

Calculer la limite suivante


lim
+∞
3n - 2
n + 1
Correction

lim
+∞
3n - 2 =
lim
+∞
3n( 1 - 2/(3n))
n + 1n(1 + 1/n)
=
lim
+∞
3(1 - 2/(3n))
(1 + 1/n )

On a


lim
+∞
1 = 0 et
lim
+∞
2 = 0
n3n

Donc


lim
+∞
3n - 2 = 3
n + 11

ainsi


lim
+∞
(un) = 3