Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère deux vecteurs u^→(2;1;0) et v^→(1,2,4).
Déterminer u^→∧v^→.

Correction

u→∧v→=	i→	2	1
	j→	1	2
	k→	0	4

	=	1	2	i→	-		2	1	j→	+	2	1	k→
		0	4				0	4			1	2

=4i^→-8j^→+3k^→
ainsi u^→∧v^→(4;-8;3)

Exercice 2 tp

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).

Soient u^→(2;1;5) et v^→(1;-2;2) deux vecteurs.
1) Déterminer u^→∧v^→.
2) Vérifier que (u^→ + v^→)⊥(u^→∧v^→).

Correction

u^→∧v^→=

		1	-2	i→	-		2	1	j→	+	2	1	k→
		5	2				5	2			1	-2

=12i^→+j^→-5k^→
ainsi u^→∧v^→(12;1;-5).
2) Par définition u^→⊥(u^→∧v^→) et v^→⊥(u^→∧v^→) donc (u^→+v^→).(u^→∧v^→) =
u^→.(u^→∧v^→) + v^→.(u^→∧v^→)=0
ainsi (u^→+v^→)⊥(u^→∧v^→).

Exercice 3 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 trois points
A(1;1;-2) ; B(-1;2;2) et C(2; 0,5 ;-4).

1) Déterminer AB^→∧AC^→.
2) Déduire que A; B et C sont alignés.

Correction

AB(-2;1;4) et AC(1; -0,5 ;-2)

Donc AB^→∧AC^→=0i^→+0j^→0k^→
ainsi AB^→∧AC^→(0;0;0).

2) Puisque AB^→∧AC^→= 0^→ alors AB^→ et AC^→ sont colinéaires et de plus A∈(BC)
donc A; B et C sont alignés.

Exercice 4 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 trois points A(2;1;-2); B(3;2;2) et C(3;1;0).
1) Déterminer AB^→∧AC^→ et déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
2) Calculer la surface du triangle ABC.

Correction

1) AB(1;1;4) et AC(1 ; 0 ; 2).
AB^→∧AC^→=

		1	0	i→	-		1	1	j→	+	1	1	k→
		4	2				4	2			1	0

=2i^→+2j^→-k^→ donc AB^→∧AC^→(2;2;-1).
Puisque AB^→∧AC^→≠ 0^→ alors A; B et C ne sont pas alignés et donc (ABC) est un plan de vecteur normal AB^→∧AC^→.

Le plan (ABC) admet une équation cartésienne sous la forme
2x+2y-z+d=0 et puisque A∈(ABC) alors le triplet (2;1;-2) vérifie l'équation
donc 2.2+2.1-(-2)+d=0
ou encore 8+d=0 ou encore d=-8
ainsi 2x+2y-z-8=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
3) Surface du triangle ABC.
S=0,5|| AB^→∧AC^→|| =0,5√(2²+2²+(-1)²)
ains S=1,5 UA.