1- توجيه الفضاء الجداء المتجهي

1.1 توجيه الفضاء

1.1.1 تقديم

i^→ و j^→ متجهتان متعامدتان منظمهما يساوي 1
في الفضاء الاعتيادي هناك امكانيتان لاضافة متجهة ثالثة لهما من اجل الحصول على اساس ممتعامد ممنظم في V3
لذلك هناك اساسان B(i^→;j^→;k^→) و B'(i^→;j^→;-k^→)

رجل امبير , هو رجل خيالي راسه في K; وقدماه في O وينظر الى النقطة I, (OIJK) رباعي الوجوه, OI^→=i^→; OJ^→=j^→ و OK^→=k^→
اذا كانت الزاوية (i^→;j^→) موجبة, فان الاساس B مباشر وكل مثلوث من متجهات غير مستوائية (u^→;v^→;w^→) موجهة

1.1.2 خاصية

(i^→;j^→;k^→) اساس مباشر و O نقطة من الفضاء المربوع (O;i^→;j^→;k^→) معلم متعامد ممنظم مباشر
وبالتالي الفضاء موجه.

1.1.3 امثلة

(O;i^→;j^→;k^→) معلم متعامد ممنظم مباشر
(i^→;j^→;k^→) اساس مباشر
(j^→;i^→;k^→) اساس غير مباشر
(j^→;k^→;i^→) اساس مباشر

1.2 الجداء المتجهي

1.2.1 تعريف:

الجداء المتجهي لمتجهتين u^→ و v^→ في الفضاء V3 ونكتب u^→∧v^→, هو متجهة معرفة بما يلي
(1) اذا كانت u^→ و v^→ مستقيميتين فان :
u^→ ∧ v^→ = O^→
(2) اذا كانت u^→ و v^→ غير مستقيميتين فان :
(a) (u^→ ∧ v^→) ⊥ u^→
و (u^→ ∧ v^→) ⊥ v^→
(b) الاساس (u^→ ; v^→ ; u^→ ∧ v^→) مباشر
(c) ||u^→ ∧ v^→|| =||u^→||×||v^→||sin(u^→;v^→)

1.2.2 نتائج

مساحة المثلث (ABC) هي :

1.2.3 امثلة

i^→∧j^→=k^→
k^→∧j^→=-i^→
k^→∧i^→=j^→
i^→∧i^→=j^→∧j^→=k^→∧k^→=O^→

1.2.4 التخالفية والتماثلية الخطية

لتكن u^→ و v^→ و w^→ متجهات القضاء V3 و k عدد حقيقي غير منعدم
التخالفية
u^→∧v^→=- v^→∧u^→
تنائية الخطية
u^→∧(v^→+w^→)=u^→ ∧ v^→ + u^→ ∧ w^→
و ku^→∧v^→ = u^→∧(kv^→) = (ku^→)∧v^→

ملاحظة:
التجميعية غير محققة على العموم
اي u^→∧(v^→∧w^→)≠(u^→∧v^→)∧w^→

2- الصيغة التحليلية للجداء المتجهي

2.1 احداتيات الجداء المتجهي لمتجهتين

2.1.1 خاصية

الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O;i^→;j^→;k^→)
u^→(x;y;z) ; v^→(x';y';z') ∈V3
u^→ ∧v^→=
(yz'-zy')i^→-(xz'-zx')j^→+(xy'-yx')k^→

برهان

u^→ ∧ v^→=
(xi^→+yj^→+zk^→)∧(x'i^→+y'j^→+z'k^→)
=xx'i^→∧i^→+xy'i^→∧j^→+xz'i^→∧k^→
+yx'j^→∧i^→+yy'j^→∧j^→+yz'j^→∧k^→
+zx'k^→∧i^→+zy'k^→∧j^→+zz'k^→∧k^→
=xx'O^→+xy'k^→-xz'j^→
-yx'k^→+yy'O^→+yz'i^→
+zx'j^→-zy'i^→+zz'O^→

=(yz'-zy')i^→-(xz'-zx')j^→+(xy'-yx')k^→

اذن
u^→∧v^→=
(yz'-zy')i^→-(xz'-zx')j^→+(xy'-tx')k^→

ملاحظة:

يمكن استعمال جداول المحددات لتذكر الصيغة

2.1.2 مثال

لتكن u^→(2;1;0) و v^→(1,2,4) متجهتين.
نحدد u^→∧v^→.

=(1x4-0x2)i^→-(2x4-0x1)j^→+(2x2-1x1)k^→
=4i^→-8j^→+3k^→
ومنه فان u^→∧v^→(4;-8;3).

2.1.3 مثال

لتكن u^→(5;-2;1) و v^→(2,7,-4) متجهتين من V₃.

=((-2)x(-4)-1x7)i^→ - (5x(-4)-1x2)j^→
+ (5x7-(-2)x2)k^→
= i^→ + 22j^→ + 39k^→
ومنه فان u^→∧v^→(1 ; 22 ; 39).

2.1.4 خاصية 1

ثلاث نقط غير مستقيمية A و B و C من الفضاء تحدد مستوى متجهته المنظمية AB^→∧AC^→.

2.1.5 خاصية 2

لتكن A و B و C ثلاث نقط من الفضاء.
AB^→∧AC^→=0^→ ⇔ A و B و C مستقيمية.

2.2 مسافة نقطة عن مستقيم

2.2.1 خاصية

B نقطة من الفضاء و D(A;u^→) مستقيم.
لدينا AB^→ ∧ u^→=(AH^→ + HB^→)∧ u^→
= HB^→ ∧ u^→
لان AH^→ و u^→ مستقيميتان اذن

2.2.2 امثلة

D(A;u^→) مستقيم حيث u^→(2;2;-1) و A(2;0;1). نعتبر نقطة B(-2;1;2) من الفضاء.
لدينا AB^→∧u^→=-3i^→-2j^→-10k^→ و ||u^→||=3
اذن