Limites et continuité (1)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 3x²-12 | si x≠-2 | |
| x+2 | |||
| f(-2) = -12 | si x=-2 |
Montrer que f est continue au point -2.
Correction
On a f(-2) = -12
Limite de f au point -2
lim -2 |
f(x) = | lim -2 |
3x²-12 |
| x+2 |
| = | lim -2 | 3(x²-4) | |
| x+2 | |||
| = | lim -2 |
3(x-2) = -12 |
| Donc | lim -2 | f(x)) = f(-2) |
et cela signifie que f est continue au point -2.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²-1 |
| |x-1| | |
| f(1) = 2 |
Etudier la continuité de f à gauche à 1 et à droite à 1.
Est ce que f admet une limite au point 1 ? et déduire la continuité de f au point 1.
Correction
On a f(1) = 2 et signe de x-1.
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| x - 1 | - | 0 | + |
|x-1|=x-1 si x≥1 et |x-1|=-(x-1) si x≤1.
| lim 1- |
f(x) = | lim 1- |
(x-1)(x+1) |
| -(x-1) | |||
| = | lim 1- |
- (x+1) | -2 ≠ f(1) |
ainsi f n'est pas continue à gauche à 1.
| lim 1+ |
f(x) = | lim 1- |
(x-1)(x+1) |
| (x-1) | |||
| = | lim 1- |
(x+1) | 2 = f(1) |
Ainsi f est continue à droite à 1
f n'admet pas de limite au point 1 car la limite à droite à 1 est différente à la limite à gauche à 1
et par conséquent f n'est pas continue au point 1
Exercice 3 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | x²-4 | si x ≤ -3 | |
| f(x) = | √(2x²-x+4) | si x > -3 |
Etudier la continuité de f au point -3
Correction
Si x≤3 on a f(x)=x²-4 donc
f(2)=(-3)²-4=5
f est continue par construction à gauche à -3
| lim (-3)+ | f(x) | = | lim (-3)+ | √(2x²-x+4) |
= √[2.(-3)²-(-3)+4] = √(25) = 5 = f(-3)
donc f est aussi continue à droite à -3
alors f est continue au point -3
Exercice 4 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 1-x | si x≠1 | |
| 1-√x | |||
| f(1) = 2 | si x=1 |
1) Déterminer D l'ensemble de définition de f
| 2) (a) Calculer | lim 1+ | f(x) |
(b) Déduire que f est continue au point 1
Exercice 5 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = | x² - 9 |.
1) Calculer
| lim 3+ | f(x) | et | lim 3- | f(x) |
2) Déduire que f est continue au point 3.