Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation et représentation (1)

Rappel 1) Si une fonction f est dérivable au point a alors sa courbe (C) admet une tangente d'équation
y = f'(a)(x-a)+f(a) au point d'abscisse a.
2) Si f est une fonction dérivable en a
la fonction x→f'(a)(x-a)+f(a) est l'Approximation affine de f au point a
(ou f(a+h)≃hf'(a)+f(a); h→0).

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = √(2x - 4)
1) Etudier la dérivabilité de f au point 2

2) La courbe (C) de la fonction f admet elle une tangente au point d'abscisse 2
3) Déterminer l'approximation affine de f(4+h) au voisinage de 0?
4) Application : donner une valeur approximative de √(4,01)

Correction

1) On a D=[2 ; +∞[ donc 2∈D car f(2)=0
On étudie donc la dérivée à droite à 2


lim
2+
f(x)-f(2) =
lim
2+
√(2x - 4) - 0
x-2 x-2
=
lim
2+
2(x-2)
(x-2)√(2x - 4)
=
lim
2+
2 = +∞
√(2x - 4)

Donc f n'est pas dérivable au point 2

On a
lim
2+
f(x)-f(2) = +∞
x-2

alors la courbe (C) admet une demi tangente verticle au point d'abscisse 2
3) Approximation affine de f(4+h)
4∈D et la fonction f ne s'annule pas au point 4 donc f est dérivable au point 4
On a f(a+h)≃hf '(a)+f(a), h→0
f(4)=2 il faut donc calculer f '(4)


lim
x→4
f(x)-f(4) =
lim
x→4
√(2x - 4) - 2
x-4 x-4
=
lim
x→4
2x - 4 - 4
(x-4)(√(2x - 4) + 2)
=
lim
x→4
2 = 1
√(2x - 4) + 22

Donc f '(4)=0,5
et par conséquent f(4+h)≃(0,5)h+2
4) Notons que √(4,01) = √(4+0,01)
0,01 s'aproche de 0

La fonction x→√(2x - 4) est dérivable au point 4 donc
f(4+0,01)≃0,01f '(4)+f(4)
ou encore √(4,01)≃0,5×(0,01)+2
Ainsi √(4,01) ≃ 2,005

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = 1
x

1) Déterminer l'approximation affine de f(2+h) au voisinage de 0?
2) Donner une valeur approximative de

1
2,005
Correction

On a f(a+h)≃hf '(a)+f(a) ; h→0 il faut donc calculer f(2) et f '(2)


lim
2
f(x)-f(2) =
lim
2
-1 = -0,25
x-22x

f '(2)=-0,25 et donc f(2+h)≃-0,25h+0,5
2) 2,005 = 2+0,005 ; 0,005 s'aproche de 0 et la fonction f est dérivable au point 2 donc f(2+0,005)≃0,005f '(2)+f(2) ou encore f(2,005)≃0,005×(-0,25)+0,5
et donc f(2,005) ≃0,49875.