Signin
Mathématiques du secondaire qualifiant

Trigonométrie (6)

Exercice 1 tp

Partie A
1) Résoudre dans IR l'équation
(E): √(2)cosx - √(2)sinx -1 =0.
2) Résoudre dans I=]-π;π] l'équation (E)
Partie B.
1) Résoudre dans I=]-π;π] l'inéquation
(I): √(2)cosx - √(2)sinx - 1 ≤0.
2) Déduire dans I, l'ensemble de solutions de l'inéquation
√(2)cosx - √(2)sinx - 1>0.

Correction Partie A

1) √(2)cosx - √(2)sinx - 1 =0
a= √(2); b= - √(2) donc √(a²+b²)=√(2+2)=2
√(2)cosx - √(2)sinx - 1 =0

⇔ 2(cosx √(2) - sinx √(2) + 1 )
2 2 2

On a

cos π = √(2) ; sin π = √(2)
4 2 4 2

L'équation devient donc

cosx.cos π - sinx.sin π - 1 = 0
4 4 2
⇔ cos(x+ π ) = 1 = cos π
4 2 3
{ x1 + π = π + 2kπ (k∈ℤ)}
4 3
x2 + π = -π + 2kπ (k∈ℤ)
4 3

{ x1 = π + 2kπ (k∈ℤ)}
12
x2 = -7π + 2kπ (k∈ℤ)
12
S ={ -7π + 2kπ ; π + 2kπ / k∈ℤ}
1212

2) On résout dans ]-π;π] l'équation (E)
on encadre les soltions dans ]-π;π]
(a) -π< x2 ≤ π

⇔ -π < -7π + 2kπ ≤π
12
⇔ -1 < -7 + 2k ≤1
12
⇔ -1 + 7 < 2k ≤1+ 7
12 12

Ou encore

⇔ -5 < k ≤ 19 ; k∈ℤ
24 24

donc k=0 ainsi

x2 = -7π
12

(b) -π< x1 ≤ π

⇔ -π < π + 2kπ ≤π
12
⇔ -1 < 1 + 2k ≤1
12
⇔ -1 - 1 < 2k ≤1- 1
12 12

Ou encore

⇔ -13 < k ≤ 11 (k∈ℤ)
24 24
donc k=0 , x1 = π
12
S ={ -7π ; π }
12 12
Correction Partie B

L'ensemble des solutions de l'équation E dans I

{ -7π ; π }
12 12

1) On résout dans I=]-π;π] l'inéquation
(I): √(2)cosx - √(2)sinx -1≤0

⇔ cos(x+ π ) ≥ 1
42

On a

X = x+ π ⇔ x = X- π
4 4

-π < x ≤ π ⇔

-3π < X ≤ 5π
4 4
⇔ X∈] -3π ; 5π ]
4 4

on pose

P(x)= cos(x+ π ) - 1
4 2
x -π -7π π π
12 12
X -3π -π π 5π
4 3 3 4
P(x) - 0 + 0 -

Ainsi

S =]-π ; -7π ]∪[ π π]
12 12

2) On déduit dans I=]-π;π] l'ensemble de solutions de l'inéquation
(II): √(2)cosx - √(2)sinx -1 > 0

S =] -7π ; π [
12 12