Mathématiques du secondaire qualifiant

الجداء السلمي (1)

تمرين 1 tp

لتكن A(3;1) ; B(1;3) و C(1;1) نقطا من المستوى.
1) احسب cos(AB ; AC) و sin(AB ; AC)
2) استنتج قياسا للزاوية (AB ; AC)

تصحيح

1) لدينا AB(-2;2) ; AC(-2;0)
AB.AC=4 ; det(AB;AC)= 4
AB=√(4+4)=2√2 ; AC=2 اذن

cosx= u.v =4
||u ||×||v||2√(2)×2

اذن

cosx =√(2)
2

ولدينا

sinx= det(u;v) =4
||u ||×||v||2√(2)×2

اذن

sinx =√(2)
2
(AB;AC)π[2π] اذن
4
تمرين 2 tp

u = 2i + j و v = 5i - 4j
حدد cos(u;v) ; sin(u;v)

تمرين 3 tp

لتكن u(2;3) متجهة موجهة لمستقيم (D)
حدد متجهة منظمية على المستقيم (D)

تصحيح

للتذكير u(a;b) متجهة موجهة لمستقيم (D) يكافئ ان n(-b;a) متجهة منظمية على المستقيم (D)
u(2;3) متجهة موجهة ل (D) اذن n(-3;2) متجهة منظمية على (D)

تمرين 4 tp

نعتبر مستقيمين (D): 3x+y-3=0
و (D'): 4x-12y+1=0
بين ان (D)⊥(D')

تصحيح

n(3;1) متجهة منظمية على (D)
و n'(4;-12) متجهة منظمية على (D')
وبما ان n.n' = 3×4 + 1×(-12) = 12-12 = 0
فان (D) ⊥ (D')

تمرين 5 tp

ليكن (D) مستقيما معادلته x+2y+3=0 و A(1;3)
احسب مسافة A عن (D)

تمرين 6 tp

حدد معادلة ديكارتية للدائرة (C) مركزها Ω(3;-1) وشعاعها 3

تصحيح

M(x;y)∈C ⇔ ΩM =3
⇔ (x-3)²+(y+1)²=9

يمكن ان تكتب هذه المعادلة على الشكل
x²+y²-6x+2y+1=0

تمرين 7 tp

لتكن (C) مجموعة النقط M(x;y) بحيث x²+y²+2x+4y+3=0 هل (C) دائرة ?

تصحيح

1) الطريقة 1
لدينا x²+2x=x²+2x+1-1=(x+1)²-1
y²+4y=y²+2.2y+2²-2²=(y+2)²-4
x²+y²+2x+4y+3=0 ⇔ (x+1)²+(y+2)²-1-4+3=0⇔ (x+1)²+(y+2)²=2=(√2)²
وهذا يعني ان المجموعة (C) دائرة مركزها Ω(-1;-2) وشعاعها R=√(2)
2) الطريقة 2
لدينا x²+y²+2x+4y+3=0
اذن a=2 ; b=4 ; c=3

a²+b²-4c=4+16-12=8>0
وهذا يعني ان المجموعة (C) دائرة مركزها

Ω( -a ; -b) = Ω( -2 ; -4 )
2 2 2 2

اي Ω(-1;-2)

وشعاعها

R=√( a²+b²-4c ) = √( 8 )
4 4

اي R=√(2)

تمرين 8 tp

لتكن (C) مجموعة النقط M(x;y) بحيث x²+y²-3x+2y+4=0 هل (C) دائرة ?

تمرين 9 tp

حدد مماس الدائرة التي مركزها Ω(-2;1) وشعاعها R=3 في النقطة A(-2;4)

تصحيح

نرمز للمماس ب (T)
M(x;y)∈(T)⇔ AM.AΩ=0
⇔ (-2+2).(x+2)+(1-4).(y-4)=0
⇔ 0-3y+12=0
⇔ y=4

اذن T: y=4

تمرين 10 tp

E(-1;-1);F(-3;1) و G(2;2) ثلاث نقط
1) تحقق ان E ; F و G غير مستقيمية
2) تحقق ان G'(-2;0) منتصف القطعة [EF]
3) بين ان x-y+2=0 هي معادلة الواسط المار من G'
4) بين ان x+y-1=0 هي معادلة الواسط المار من منتصف القطعة [EG]
5) حل النظمة اسفله واستنتج معادلة الدائرة (C)

{
x - y + 2 = 0
x + y - 1 = 0