2- Droite définie par un point et un vecteur normal

2.1 Vecteur normal à une droite

2.1.1 Définition

Tout vecteur orthogonal au vecteur directeur d'une droite est appelé Vecteur normal.
n^→→| ↑u^→

En d'autre terme soit u^→ un vecteur directeur de (D).
n^→ est un vecteur normal sur (D)
⇔ n^→.u^→=0

2.1.2 Résultats

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) u^→(-b;a) est un vecteur directeur de (D) ⇔ n^→(a;b) est un vecteur normal sur (D).

2) u^→(a;b) est un vecteur directeur de (D) ⇔ n^→(-b;a) est un vecteur normal sur (D).

Exemple
u^→(2;3) est un vecteur directeur de (D) donc n^→(-3;2) est un vecteur normal sur (D).

Remarque
Si n^→ est un vecteur normal sur (D) alors (∀k∈IR*): kn^→ est un vecteur normal sur (D).

2.2 droite définie par un point et un vecteur normal

2.2.1 Propriété 1

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). L'équation cartésienne d’une droite (D) définie par un point et un vecteur normal
s'écrit sous la forme ax+by+c=0.

Démonstration
Soit (D) une droite passant par A(x_A;y_A) et de vecteur normal n^→(a;b).
M(x;y)∈(D) ⇔n^→.AM^→= 0

⇔a(x-xa)+b(y-y_A)=0
⇔ax+by+(-ax_A-by_A)=0
posons c=-ax_A-by_A
alors M(x;y)∈(D) ⇔ ax+by+c=0.

2.2.2 Propriétés 2

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). L'ensemble des points M(x;y) du plan ℙ tels que ax+by+c=0 est une droite (D) de vecteur normal n^→(a;b).

Exemple
2x-5y+3=0 est une équation cartésienne d'une droite (D) et n^→(2;-5) son vecteur normal.

2.2.3 Propriété 3

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux droites (D) et (Δ) de vecteurs normals respectifs n^→(a;b) et n'^→(a';b').
(D)⊥(D')⇔n^→.n'^→= 0 ⇔aa'+bb'=0
(D)||(D') ⇔ det(n^→;n'^→)=0 ⇔ab'+a'b=0.

Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux droites
(D): 3x+y-3=0 et (D'): 4x-12y+1=0
Montrer que (D)⊥(D').

Correction

Soient n^→(3;1) un vecteur normal sur (D) et n'^→(4;-12) un vecteur normal sur (D').

n^→.n'^→=3×4 + 1×(-12)=12-12=0
donc (D)⊥(D').