Mathématiques du secondaire qualifiant

النهايات (1)

تمرين 1 tp

1) لتكن f و g دالتين عدديتين بحيث f(x)=-7x³+3x²-5 ; g(x)=5x³+8x-7
احسب
lim-∞f(x) ; lim+∞g(x).
2) لتكن h و t دالتين عدديتين بحيث
h(x)=4x+3 ; t(x)3x-1
7x-24x²+5x
احسب
lim-∞h(x) ; lim+∞t(x)

تصحيح

1) لدينا lim-∞f(x)=lim-∞-7x³=-(-∞)=+∞
ولدينا lim+∞g(x)=lim+∞5x³=+∞

2) لدينا

lim
-∞
h(x)=
lim
-∞
4x =4
7x7
ولدينا

lim
+∞
t(x)=
lim
+∞
3x
4x²
=
lim
+∞
3 =0
4x

تمرين 2 tp

احسب النهايات التالية
1) lim-∞2x+√(x²+1)
2) lim+∞-5x+√(7x²+2)

تصحيح

1) نضع f(x)=2x+√(x²+1)

التعويض المباشر شكل غير محدد اذن يمكن ان نفكر في التعميل او المرافق

lim
-∞
f(x)=
lim
-∞
2x+√(x²(1+1))
نعلم ان √(x²)=|x| وبما ان x يؤول الى -∞ فان x سالب اذن √(x²)=-x

lim
-∞
f(x)=
lim
-∞
x(2-√(1+1))
وبما ان

lim
-∞
√(1+1)=1
فان lim+∞f(x)=-∞.(2-1)=-∞
2) نضع g(x)=-5x+√(7x²+2)

التعويض المباشر شكل غير محدد اذن يمكن ان نفكر في التعميل او المرافق

lim
+∞
g(x)=
lim
+∞
-5x+√(x²(7+2))
نعلم ان √(x²)=|x| وبما ان x يؤول الى +∞ فان x موجب اذن √(x²)=x

lim
+∞
g(x)=
lim
+∞
x(-5+√(7+2))
وبما ان

lim
+∞
√(7+2)=√(7)
فان lim+∞g(x)= +∞.(-5+√(7))=-∞

تمرين 3 tp

احسب النهايات التالية

lim
0
sin2x
; lim
0
tan3x
sin4xsin9x

تمرين 4 tp

احسب النهايات التالية

lim
0
xsin(2x)
1-cos(2x)

; lim
(π/4)
cosx - sinx
x-(π/4)

تصحيح


lim
0
xsin(2x)
1-cos(2x)
التعويض المباشر شكل غير محدد اذن يمكن ان نفكر في صيغ التحويل
1-cos(2x)=2sin²(x)
و sin(2x)=2sin(x)cos(x)
اذن

lim
0
xsin(2x)
1-cos(2x)

=lim
0
2xcosxsinx
2sin²(x)

=lim
0
x.cos(x) = 1.1=1
sin(x)


lim
(π/4)
cosx - sinx
x-(π/4)
التعويض المباشر شكل غير محدد اذن يمكن ان نفكر في صيغ التحويل
cos(x)-sin(x)=?
a=1 ; b=-1 ; √(a²+b²)=√(2)
اذن
∃α∈IR : cos(x)-sin(x)=cosαcosx-sinαsinx=√(2)(cos(x+α))
بحيث
cosα = √(2) ; sinα = - √(2)
22
اذن يكفي اخذ
α =
4

ومنه فان

lim
(π/4)
cosx - sinx
x-(π/4)

= lim
(π/4)
√(2)cos(x+ π)1
4x-(π/4)
cos(X) = sin( π - X) لدينا الخاصية
2
اذن

lim
(π/4)
cosx - sinx
x-(π/4)

= lim
(π/4)
√(2)sin( π-x)1
4x-(π/4)

= lim
T→0
- √(2)sin(T)=- √(2)
T