5.5 Limites et Ordre

5.5.1 Propriétés

1) Si f est une fonction positive et admet une limite au point a (ou en ±∞) alors cette limite est positive.
2) Si f est négative et admet une limite au point a (ou en ±∞) alors cette limite est négative.
3) Si f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I et k∈IR tels que (∀x∈I): |f(x)-L|≤g(x) et lim_ag(x)=0 alors lim_af(x)=L.

5.5.2 Proprriété

Soient f ; g et h des fonctions définies sur un intervalle I.
1) Si (∀x∈I): g(x)≤f(x)≤h(x)

et	lim a	g(x) =	lim a	h(x)
⇒	lim a	f(x) =	lim a	g(x)
et	lim a	f(x) =	lim a	h(x)

2) Si (∀x∈I): f(x)≤g(x)

et	lim a	g(x) = -∞
⇒	lim a	f(x) = -∞

3) Si (∀x∈I): f(x)≥g(x)

et	lim a	g(x) = +∞
⇒	lim a	f(x) = +∞

Notons que les propriétés précédentes restent vraies en ±∞.

Exercice 1 tp

Calculer la limite suivante

lim + ∞	sin(x)
	x

Correction

(∀x∈IR): -1≤sinx≤1
et x→+∞ ⇒ x>0 donc

	sin(x)		≤	1
	x			x

	sin(x)		≤	1
	x			x

⇔

-1	≤	sin(x)	≤	1
x		x		x

lim + ∞	-1	=	lim + ∞	1	=	0
	x			x

alors	lim +∞	sin(x)	= 0
		x

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	-x+cosx
	√(x)

Calculer

lim + ∞

f(x)

Correction

(∀x∈IR): cosx≤1
donc -x+cosx <-x + 1.

Puisque √(x)>0

alors	-x+cosx	<	-x + 1
	√(x)		√(x)

Remarque

Si	u ≤ v et	lim ±∞(ou a)	v(x) = - ∞

alors	lim ±∞(ou a)	u(x) = - ∞

D'une part	- x + 1	= - √(x) +	1
	√(x)		√(x)

d'autre part	lim + ∞	1	= 0
		√(x)

puisque	lim + ∞	- √(x) = -∞
alors	lim + ∞	f(x) = -∞