Espace analytique (1)
Exercice 1 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère trois vecteurs
u→(1;2;3); v→(3;5;5)
et w→(4;7;8).
1) Calculer det(u→;v→;w→).
2) u→; v→; w→
sont ils coplanaires ?
Correction
Rappel u→; v→; w→ sont coplanaires si et seulement si det(u→;v→;w→)=0.
1) det(u→;v→;w→)= | 1 | 3 | 4 | |
2 | 5 | 7 | ||
3 | 5 | 8 |
= 1 | 5 | 7 | - 2 | 3 | 4 | + 3 | 3 | 4 | ||||
5 | 8 | 5 | 8 | 5 | 7 |
=1(5.8-5.7)-2(3.8-5.4)+3(3.7-5.4)=0
donc det(u→;v→;w→)=0.
2) Puisque det(u→;v→;w→)=0
alors u→; v→ et w→
sont coplanaires.
Exercice 2 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère trois vecteurs
u→(2;4;3); v→(1;2;3)
et w→(4;5;2).
1) Calculer det(u→;v→;w→).
2) u→; v→;w→ sont'il coplanaires ?
Exercice 3 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère dans 𝔼 quatre points A(0;-1;2) ; B(2;3;5) ; C(1;1;5) et D(4;4;7).
1) Calculer det(AB→;AC→;AD→).
2) Les points A; B; C et D sont'il coplanaires ?
Correction
1) AB→=2i→+4j→+3k→; AC→=i→+2j→+3k→ et AD→=4i→+5j→+5k→.
det(u→;v→;w→)= | 2 | 1 | 4 | |
4 | 2 | 5 | ||
3 | 3 | 5 |
= 2 | 2 | 5 | - 4 | 1 | 4 | + 3 | 1 | 4 | ||||
3 | 5 | 3 | 5 | 2 | 5 |
=2(2.5-3.5)-4(1.5-3.4)+3(1.5-2.4)=9
donc det(AB→;AC→;AD→)=9
2) Puisque det(AB→;AC→;AD→)≠0 alors AB→; AC→; AD→ ne sont pas coplanaires et par conséquent les points A; B; C et D ne sont pas coplanaires.
Exercice 4 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère dans 𝔼 un plan P passant par A(1;2;3) et orienté par u→(4;-1;5) et v→(0;7;-2).
1) Déterminer une représentation paramétrique du plan P.
2) Le point B(-3;10;-4) appartient il au plan P ?
Correction
1) M(x;y;z)∈P ⇔
(S): { | x = 1+4t | (k;t∈IR) |
y = 2-t+7k | ||
z = 3+5t-2k |
ce système (S) est une représentation paramétrique du plan P.
2) Le triplet (-3;10;-4) vérifie le système si
(∃t;r∈IR): OB→=tu→+kv→
pour cela on pose
x=-3 ; y=10 ; z=-4
{ | -3=1+4t | ⇔ | { | 4t=-4 |
10=2-t+7k | -t+7k=8 | |||
-4=3+5t-2k | 5t-2k=-7 |
(1) 4t=-4⇔t=-1
(2) -(-1)+7k=8⇔k=1
(3) 5.(-1)-2.1=-5-2=-7
donc (∃t=-1;k=1): OB→=-u→+v→
ainsi B∈P.