2.1.4 Coordonnées de AB^→

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points dans l'espace 𝔼.
AB^→(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).

Exemple Soient A(1;2;3) et B(-3;2;8) deux points dans l'espace 𝔼.
On a AB^→(-4;0;5).

2.1.5 Coordonées du milieu I d'un segment [AB]

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points dans l'espace 𝔼. I(X_I;Y_I;Z_I) est le milieu du segment [AB] signifie

On écrit

Exemple Soient A(7;-3;2) et B(1;3;2) deux points dans l'espace 𝔼.
I(x_I;y_I;z_I) est le milieu du segment [AB] signifie

donc I(4;0;2) est le milieu du segment [AB].

2.2 Condition analytique de colinéarité de deux vecteurs

2.2.1 Théorème 1

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). u^→(x;y;z) et v^→(x';y';z') sont deux vecteurs colinéairs si et seulement si

Remarque Ces déterminants sont appellés les déterminants extraits des vecteurs u^→ et v^→.

Exemple
Soient u^→(1;2;-4) et v^→(-2;-4;8) deux vecteurs.
Montrer que u^→ et v^→ sont colinéaires.

Correction
Les déterminants extraits de u^→ et v^→ sont tous nuls
1.(-4)-2.(-2)= 0.
1.10-(-5).(-2)= 0.
2.8-(-5).(-2)= 0.
donc u^→ et v^→ sont colinéaires.

Remarque v^→=-2u^→ (ils sont donc colinéaires).

2.2.2 Théorème 2

u^→(x;y;z) ; v^→(x';y';z') u^→ et v^→ ne sont pas colinéairs si et seulement si

Exemple
Montrer que u^→(1;2;5) et v^→(-2;1;4) sont deux vecteurs non colinéaires.

Correction
L'un des déterminants extraits des vecteurs u^→ et v^→ est non nul.
(1.1)-(2.(-2))=5≠0 donc les deux vecteurs u^→ et v^→ sont non colinéaires.

Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère dans 𝔼 les points A(-1;0;1) ; B(2;1;3) et C(4;1 ;-4).
Etudier l'alignement des points A ; B et C.

Correction

On étudie la colinéarité des vecteurs AB^→(3;1;2) et AC^→(5;1;-5).

donc AB^→ et AC^→ ne sont pas colinéaires et donc les points A ; B et C ne sont pas alignés.