Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x³+x².
Montrer que f est dérivable en 1
puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point A(1;f(1)).

Correction

D=IR donc 1∈D et pour montrer que f est dérivable en 1 il suffit de montrer que

lim x→1	f(x)-f(1)	∈IR	(un nombre fini)
	x-1

lim x→1	f(x)-f(1)	=	lim x→1	x³+x²-2
	x-1			x-1

p(x)=x³+x²-2 est un polynôme et s'annule en 1 car p(1)=0
donc il est divisible par x-1.
On effectue donc la division euclidienne de p(x) par x-1.

x³	+x²	+0x	-2			x-1
-x³	+x²					x²+2x+2
0	+2x²	+0x	-2
	-2x²	+2x
	0	2x	-2
		-2x	+2
		0	0

et donc p(x)=(x-1)(x²+2x+2).

lim x→1	f(x)-f(1)	=	lim x→1	(x-1)(x²+2x+2)
	x-1			x-1

=

lim x→1

(x²+2x+2) = 5

et cela signifie que f est dérivable en 1 et f'(1)=5
ainsi (C) admet une tangente au point A(1;2) d'équation
T: y=f'(1)(x-1)+f(1) ou encore T: y=5x-3.
Notons que f est un polynôme
donc dérivable sur IR et en particulier au point 1.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=√(x).
1) Etudier la dérivabilité de f en 0.
2) Est ce que la courbe (C) admet une tangente au point O ?

Correction

1) D=[0;+∞[ donc 0∈D et f(0)=0.

lim x→0+	f(x)-f(0)	=	lim x→0+	√(x) - 0
	x-0			x

=	lim x→0+	1	= +∞	∉IR
		√(x)

donc f n'est pas dérivable en 0.
2) f n'est pas dérivable en 0 donc la courbe (C) n'a pas de tangente au point O, mais elle admet une demi-tangente verticale vers le haut.

Propriété Soit a∈D.
Si une fonction f n'est pas dérivable au point a

et	lim x→a	f(x)-f(a)	= ±∞
		x-a

alors la courbe (C) admet une demi-tangente au point d'abscisse a.