Exercice 1 tp

Soient A; B و C trois points tels que
3AC^→=4BC^→.
1) Montrer que A est barycentre de deux points pondérés (B;4) ; (C;-1).
2) Soit D un point tel que 2AC^→+4BD^→=O^→.
Montrer que A est un point de gravité de B et D.

Correction

1) On applique la ralation de Chasles
3AC^→=4BC^→ ⇔ 3AC^→ =4(AC^→-AB^→)
⇔ 4AB^→+3AC^→-4AC^→ =O^→
⇔4AB^→-AC^→ =O^→
on pose a=4 et b=-1
a+b=4+(-1)=3≠0
donc A est le barycentre des points pondérés (B;4) et (C;-1).

2) On a 2AC^→+4BD^→=O^→
⇔ 2AC^→+4(BA^→+AD^→) =0^→
⇔ 2AC^→-4AB^→+4AD^→ =O^→
puisque 4AB^→-AC^→ =O^→
ou encore AC^→=4AB^→
ou encore 2AC^→=8AB^→ alors 2AC^→+4BD^→=O^→
⇔ 8AB^→-4AB^→+4AD^→ =O^→
⇔ 4AB^→+4AD^→=0^→

⇔ AB^→+AD^→=0^→
donc a=1 et b=1
a+b=2≠0 alors A est le barycentre des points pondérés (B;1);(D;1)
et de plus A est le centre de gravité de B et D.

Exercice 2 tp

Soit G le barycentre de (A;k) et (B;t).
Déterminer k et t dans chacun des cas suivants
1) GA^→ + GB^→ = 2AB^→.
2) 2GA^→ + AB^→ = O^→.

Correction

G est le barycentre de (A;k) et (B;t) signifie kGA^→+tGB^→=O^→.
1) GA^→+GB^→=2AB^→
⇔ GA^→+GB^→=2(AG^→+GB^→)

⇔ 3GA^→ - GB^→ = O^→
et cela signifie que G est le barycentre des points pondérés (A;3) et (B;-1)
ainsi k=3 et t=-1.
2) 2GA^→ + AB^→ = O^→
⇔ 2GA^→+(AG^→+GB^→)=O^→
⇔ GA^→+GB^→=O^→
et cela signifie que G est barycentre de deux points pondérés (A;1) et (B;1) et de plus G est un centre de gravité de A et B
ainsi k=1 et t=1.

Exercice 3 tp

Soient (ABC) un triangle et D un point tel que AD^→=1,5AB^→.
1) Vérifier que A est barycente de (B;3) et (D;-2).
2) Tracer G barycentre de (C;3) et (D;-2).
3) Montrer que DG^→ = 3DC^→ puis déduire que AG^→ et BC^→ sont colinéaires.

4) Déterminer l'ensemble des points M du plan tel que
||-2MD^→+3MB^→||=||-2MD^→+3MC^→||.