Mathématiques du secondaire qualifiant

المرجح في المستوى (1)

تمرين 1 tp

لتكن A; B و C ثلاث نقط بحيث 3AC=4BC
1) بين ان A مرجح النقطتين المتزنتين (B;4) ; (C;-1)
2) لتكن D نقطة بحيث 2AC+4BD=O
بين ان A مركز ثقل B; D

تصحيح

1) حسب علاقة شال
3AC=4BC⇔3AC=4(AC-AB)
⇔ 4AB+3AC-4AC=O
⇔4AB-AC=O

اذن A مرجح النقطتين المتزنتين (B;4) ; (C;-1)

2) لدينا 2AC+4BD=O
⇔2AC+4(BA+AD)=0
⇔2AC-4AB+4AD =O
⇔8AB-4AB+4AD =O
⇔4AB+4AD=0
⇔AB+AD=0

( لان AC=4AB
اي 2AC=8AB)
اذن A مرجح (B;1);(D;1) وهذا يعني A مركز ثقل B; D

تمرين 2 tp

G مرجح (A;k) و (B;t) حدد k و t في كل من الحالتين التاليتين
1) GA + GB = 2AB
2) 2GA + AB = O

تصحيح

G مرجح (A;k) و (B;t) يعني kGA + tGB = O
1) GA + GB = 2AB
⇔GA + GB = 2(AG+GB)

⇔3GA - GB = O
وهذا يعني ان G مرجح النقطتين المتزنين (A;3) و (B;-1)
اذن k=3 ; t=-1
2) 2GA + AB = O
⇔2GA + (AG+GB) = O
⇔GA + GB = O

وهذا يعني ان G مرجح النقطتين المتزنتين (A;1) و (B;1)
اذن k=1 ; t=1.

تمرين 3 tp

ليكن (ABC) مثلثا و D نقطة بحيث AD = 1,5AB
1) تحقق ان A مرجح (B;3) و (D;-2)
2) انشئ G مرجح (C;3) و (D;-2)
3) بين ان DG = 3DC ثم استنتج ان AG و BC مستقيميتان
4) حدد مجموعة النقط M من المستوى بحيث
||-2MD+3MB||=||-2MD+3MC||

تمرين 4 tp

انشئ G مرجح (A;-1) ; (B;3) ; (C;1)

تصحيح

نلاحظ ان النقطتين (A,-1) ; (C,1) ليس لهما مرجحا لان -1+1=0 اذن لا يمكن تطبيق التجميعية على A و C
نأخذ النقطتين (A;-1) ; (B;3) لان -1+3=2≠0
اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب H ومنه فان G مرجح النقطتين (H;2) ; (C;1)

يمكن ان نطبق التجميعية ايضا على النقطتين B; C لان 3+1=4≠0
ملاحظة يمكن رسم المرجح G برسم كل من H و C
لدينا H مرجح ل (A;-1) ; (b;3) يعني
∀M: -MA+3MB=(-1+3)MH
⇔ ∀M: -MA+3MB=2MH
⇔ -BA=2BH

يعني ان

BH = -1BA
2

ونعلم ان
∀M: -MA+3MB+MC=3MG
⇔ 2MH+MC=3MG
⇔ HC=3HG

وبالتالي

HG = 1HC
3