الدوال الاصلية (1)
1- الدوال الاصلية لدالة متصلة
1.1 انشطة
نرمز ب F لدالة قابلة للاشتقاق و f دالتها المشتقة يعني F'=f
اتمم الجدول
| F(x) | | | f(x)=F'(x) |
|---|---|---|
| x²+2x+3 | ... | |
| x²+2x+5 | ... | |
| ... | (2√x)-1 | |
| cosx | ... | |
| ... | 2x(x²+1)² | |
| ... | (2x+1)(x²+x)-2 |
الدالة x→2x+2 هي الدالة المشتقة
للدالة x→x²+2x+3
في حين الدالة x→x²+2x+3 تسمى دالة اصلية
للدالة
x→2x+2
الدالة x→x²+2x+5 هي ايضا دالة اصلية
للدالة x→2x+2
الدالة x→x³ هي دالة اصلية للدالة x->3x²
1.2 تعريف
f دالة معرفة على مجال I
F هي دالة اصلية للدالة f اذا كانت F قابلة للاشتقاق على المجال I و
∀x∈I: F'(x)=f(x)
1.3 خاصيات
1.3.1 خاصية 1
كل دالة متصلة على مجال I تقبل دوال اصلية على I
1.3.2 مثال :
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x)= | 1 |
| x² |
بين ان f تقبل دوال اصلية على IR وحدد دالة اصلية للدالة f.
تصحيح
f دالة جذرية اذن متصلة على مجموعة تعريفها IR* اذن تقبل دوال اصلية على IR*
| f(x)= | 1 | =( | -1 | )'=F'(x) |
| x² | x |
| F:x→ | -1 |
| x |
دالة اصلية ل f
1.3.3 خاصية 2
لتكن f دالة معرفة ومتصلة على I و F دالة اصلية لها
مجموعة الدوال الاصلية للدالة f على I تساوي مجموعة الدوال التي تكتب على الشكل F+k حيث k عدد تابت .
برهان :
لتكن F و G دالتين اصليتين للدالة f على I.
اذن F'(x)=G'(x)=f(x) اي (F-G)'(x)=0 اذن F-G=k وبالتالي F=G+k حيث k∈IR
ملاحظة :
الدوال الاصلية للدالة على الشكل x→xn حيث n∈IN, هي الدوال العددية
| x→ | 1 | xn+1+k; k∈IR |
| n+1 |
مثال 1:
f(x)= 2x, الدالة F:x→x² هي دالة اصلية للدالة f
لان
F'(x)=(x²)'=2x=f(x).
ومنه فان مجموعة الدوال الاصلية للدالة f هي مجموعة الدوال على الشكل x→x²+k حيث k∈IR
مثال 2:
f(x)= 3x²+2, الدالة F:x→x³+2x هي دالة اصلية للدالة f
لان
F'(x)=(x³+2x)'=3x²+2=f(x).
وبالتالي مجموعة الدوال الاصلية للدالة f هي مجموعة الدوال العددية التي على الشكل x→x³+2x+k حيث k∈IR
1.3.4 خاصية 3
لتكن f دالة معرفة ومتصلة على مجال I
a∈I و b∈IR, توجد دالة اصلية وحيدة G للدالة f على I وتحقق الشرط G(a)=b
1.4 نتيجة
لتكن f دالة معرفة ومتصلة على مجال I و F دالة اصلية لها, توجد دالة اصلية وحيدة G للدالة f وتنعدم في a و G(x)=F(x)-F(a)
مثال
f(x)= 4x³ اذن F(x)=x4 نضع a=2
الدالة الاصلية للدالة f وتنعدم في 2 هي الدالة G المعرفة كما يلي
∀x∈IR: G(x)=F(x)-F(2)= x4.
2- العمليات على الدوال الاصلية
2.1 خاصيات
لتكن F و G دالتين اصليتين على التوالي ل f و g على مجال I
و t عدد حقيقي
F+G هي دالة اصلية للدالة f+g على I
F-G هي دالة اصلية للدالة f-g على I
tF هي دالة اصلية للدالة tf على I
على العموم الدالة الاصلية للدالة f.g ليست هي F.G
ملاحظة
لتكن f دالة متصلة على مجال I و a و b عددين حقيقيين من I
لتكن F دالة اصلية للدالة f على I. الفرق F(b)-F(a) غير مرتبط باختيار دالة اصلية
مثال :
f(x)=3x²+2x; F و G دالتين اصليتين للدالة f على IR.
لدينا F(x)= x³+x² و G(x)=x³+x²+7
نأخذ : a=1 و b=5
F(1)-F(5)=2-150 =-148
G(1)-G(5)=9-157 = -148
اذن F(1)-F(5)=G(1)-G(5)
3- الدوال الاصلية الاعتيادية
| الدالة f | الدالة الاصلية F |
|---|---|
| 1 | x+k |
| a | ax+k |
| sinx | -cosx + k |
| cosx | sinx +k |
| asin(ax+b) | -cosx |
| u'+v' | u+v+k |
| 2u'u | u² + k |
| f الدالة | الدالة الأصلية F | |||
|---|---|---|---|---|
| xn | 1 | xn+1+k | ||
| n+1 | ||||
| 1 | -1 | + k avec x≠0 et k∈IR | ||
| x² | x | |||
| 1+tan²x | 1 | x≠(π/2)+kπ | ||
| cos²x | ||||
| u' | -1 | + k avec k∈IR | ||
| u² | u | |||
| f الدالة | الدالة الأصلية F | |||
|---|---|---|---|---|
| u'v-uv' | u | +k | ||
| v² | v | |||
| u' | √u + k avec k∈IR | |||
| 2√(u) | ||||
| 1 | artctan(x) | + k avec k∈IR | ||
| 1+x² | ||||
| u'(x) | arctan(u(x)) | + k avec k∈IR | ||
| 1+(u(x))² | ||||