Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D
3) Déduire que f est strictement décroissante sur D

Correction

1) f est définie si x+2 et x-2 sont non nuls et de même signe

Ainsi D = ]-∞ ; -2[∪]2 ; +∞[

2) La fonction g définie sur D par

est une restriction d'une fonction rationnelle donc dérivable sur D de plus elle est strictement positive sur D alors f est dérivable sur D . Soit x∈D

Donc ∀x∈D

Ou encore

3) ∀x∈D on a (x+2)(x-2)>0 et -4 < 0
donc ∀x∈D on a f '(x) < 0 et donc f est strictement décroissante sur D

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = ln(√(x-1) - 2)
1) Déterminer D l'ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D

Correction

1) D = {x∈IR / (x-1≥0) et (√(x-1) - 2) > 0}
= {x∈IR / x≥1 et x-1 > 4}
= {x∈IR / x≥1 et x > 3}
Ainsi D = ]3 ; +∞[

2) Soit x∈D
la fonction x→(x-1) est dérivable et strictement positive sur D donc la fonction x→√(x-1) est dérivable sur D ainsi la fonction x→(√(x-1)-2) est dérivable et strictement positive sur D alors la fonction f est dérivable sur D et on a ∀x∈D

On a

ainsi