Mathématiques du secondaire qualifiant

Limite et continuité (1)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 3x²-12 si x≠-2
x+2
f(-2) = -12 si x=-2

Montrer que f est continue au point -2

Correction

On a f(-2) = -12
Limite de f au point -2


lim
-2
f(x) =
lim
-2
3x²-12
x+2
=
lim
-2
3(x²-4)
x+2
=
lim
-2
3(x-2) = -12
Donc
lim
-2
f(x)) = f(-2)

et cela signifie que f est continue au point -2

Deuxième méthode, soient ε > 0 et x∈D
On a |x-(-2)|=|x+2| et

|f(x)-f(-2)|= |3x²-12| = 3|x+2|
x+2

donc β existe, il suffit de poser

β = ε
3
|x+2| < ε ⇒ 3|x+2| < ε
3

Ainsi (∀ε > 0)(∃β = ε/3 > 0)(∀x∈Df)
(|x+2| < β ⇒ |f(x)-f(-2))| < ε
Finalement f est continue au point -2

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = x²-1
|x-1|
f(1) = 2

Etudier la continuité de f au point 1

Correction

On a f(1) = 2 et signe de x-1

x -∞1 +∞
x - 1 -0 +

|x-1|=x-1 si x≥1 et |x-1|=-(x-1) si x≤1


lim
1-
f(x) =
lim
1-
(x-1)(x+1)
-(x-1)
=
lim
1-
- (x+1) -2 ≠ f(1)

Ainsi f n'est pas continue à gauche à 1


lim
1+
f(x) =
lim
1-
(x-1)(x+1)
(x-1)
=
lim
1-
(x+1) 2 = f(1)

Ainsi f est continue à droite à 1
f n'admet pas de limite au point 1 car la limite à droite à 1 est différente à la limite à gauche à 1
et par conséquent f n'est pas continue au point 1

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = x²-4 si x ≤ -3
f(x) = √(2x²-x+4) si x > -3

Etudier la continuité de f au point -3

Correction

Si x≤3 on a f(x)=x²-4 donc f(2)=(-3)²-4=5
f est continue par construction à gauche à -3


lim
(-3)+
f(x) =
lim
(-3)+
√(2x²-x+4)

= √[2.(-3)²-(-3)+4] = √(25) = 5 = f(-3)
donc f est aussi continue à droite à -3
alors f est continue au point -3

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 1-x si x≠1
1-√x
f(1) = 2 si x=1

1) Déterminer D l'ensemble de définition de f
2) Etudier la continuité de f au point 1