1- قانون التركيب الداخلي

1.1 امثلة

1.1.1 مجموعة الدوال

لتكن F مجموعة الدوال التآلفية
ولتكن (f;g)∈F² اذن f و g تكتبان على التوالي على الشكل f(x)=ax+b و g(x)=a'x+b' حيث a;b;a';b'x∈IR
نعرف تطبيق الجمع , ونلرمز له ب som (+) من F×F نحو F بما يلي :
som(f;g)=f+g لدينا اذن
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(a+a')x+(b+b')
ومنه فان f+g∈F بالتعريف som او + هي قانون تركيب داخلي ومعرف على F ونكتب (F;+)

1.1.2 الفضاء المتجهي

ليكن V3 او V الفضاء المتجهي
نعرف الجداء السلمي p او (.)

∀(u;v)∈V×V: p(u;v)=u.v وبما ان u.v∈IR ولا ينتمي الى V فان
(.) ليس قانونا تركيب داخلي

1.1.3 التطبيق som (+) في IN

∀(n;m)∈IN×IN: som(n;m)=n+m ∈IN
اذن som (+) هو قانو تركيب داخلي LCI في IN ونكتب (IN;+)

1.1.4 التطبيق الطرح

(-) ليس قانونا تركيب داخلي لان sou(4;3)=4-3=-1∉IN

1.1.5 المجموعة ℤ/nℤ

+ و × قانونان تركيبيان داخليان في ℤ/nℤ حيث n∈IN*

1.2 القانون التركيب الداخلي LCI

1.2.1 تعريف

لتكن E مجموعة , القانون التركيب الداخلي ,(LCI),هو تطبيق f معرف من E×E نحو E
f: (x;y)→f(x;y)

1.2.1 ترميز

LCI f سيرمز لها بأحد الرموز التالية + ; . ; * ; T ; ⊥ ; ...
اذن عوض ان نكتب f(x;y) نكتب مثلا xTy
والمجموعة E المزودة ب T نرمز لها ب (E ; T)

1.2.2 امثلة

لتكن E={1;2;3}, لدينا مجموعة اجزاء المجموعة E هي
P(E)={∅ ;{1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};1;2;3}}
∀(A;B)∈(P(E))²: A∪B∈P(E) اذن الاتحاد ∪ هو قانون تركيب داخلي في P(E) بحيث E مجموعة ونكتب (P(E);∪)
وايضا لدينا ∀(A;B)∈(P(E))²: A∩B∈P(E) اذن التقاطع ∩ هو LCI في P(E)بحيث E مجموعة ونكتب (P(E);∩)

1.3 خاصية LCI

1.3.1 التبادلية

لتكن (E;T) مجموعة
نقول ان القانون T تبادلي في E
اذاكان ∀(x;y)∈E: x T y = y T x

امثلة

1) ∪ قانو تبادلي في مجموعة الدوال (F ; ∪)
2) المركب o ليس قانونا تبادليا في مجموعة التطبيقات (A;o) لان gof≠fog
3) القانون - ليس قانونا تبادليا في IR لان 5-2≠2-5

1.3.2 التجميعية

نعتبر (E;T) حيث T هو LCI
القانون T تجميعي في E
اذا كان ∀(x;y;z)∈E³: xT(yTz)=(xTy)Tz

امثلة

+ و × قانونان تجميعيان في IN; ℤ; IQ; IR و ℂ

1.3.3 العنصر المحايد

نعتبر (E;T) و e∈E
e عنصر محايد في E
اذا كان ∀x∈E: xTe=x ∧ eTx=x

مثال

التطبيق الطابق Id هو العنصر المحايد لمجموعة التقابلات (B;o) في E

1.3.4 العنصر المماثل

نعتبر المجموعة (E;T) و e العنصر المحايد و x∈E
x متماثل (او يقبل مماثل ) في E
اذا كان ∃x'∈E, xTx'=e ∧ x'Tx=e
x' نرمز له ب x^-1 وليس بالضرورة المقلوب!

مثال

التقابل f مماثل وتقابله العكسي f^-1 هو مماثله لان
fof^-1=f^-1of=Id

1.4 وحدانية العنصر المحايد والعنصر المماثل

1.4.1 مبرهنة الوحدانية للعنصر المحايد

لتكن E مجموعة مرتبطة ب LCI *, اذا كانت * تقبل عنصرا محايدا e فانه وحيد

برهان:

نفترض ان * تقبل عنصرين محايدين e و e', اذن ∀x∈E: x*e=e*x=x
وبالخصوص x=e' اذن e'*e=e*e'=e' (1)
وايضا لدينا ∀x∈E: x*e'=e'*x=x وبالخصوص x=e اذن e*e'=e'*e=e ;(2)
من (1) و (2) نحصل على e=e' وهذا المطلوب

1.4.2 مبرهنة وحدانية العنصر المماثل لعنصر

لتكن E محموعة مرتبطة ب LCI * تجميعية
اذا كان a يقبل عنصرا مماثلا a' فانه وحيد

برهان :

نفترض ان a يقبل مماثلين a' و a".
لدينا: a*a'=e=a*a" اذن a"*(a*a')=a"*(a*a")=a"*e اي (a"*a)*a'=a" اي e*a'=a" اذن a'=a" وهذا المطلوب

1.5 خاصية

لتكن (E;*) مجموعة مرتبطة ب LCI * و x;y;a;b∈E
x=y و a=b يستلزم a*x=b*y

برهان :

(x=y و a=b)⇒(a;x)=(b;y)⇒a*x=b*y

نتيجة

∀c∈E: x=y⇒c*x=c*y ∧ x*c=y*c

2- جزء مستقر والقانون المستخرج

2.1 جزء مستقر

2.1.1 تعريف

لتكن (E;T) مجموعة مزودة ب LCI T و H⊂E
H مستقر بالقانون T اذا كان
∀(x;y)∈H×H : xTy ∈H

2.1.2 امثلة

1) نعتبر (IR;+) لدينا IN∈IR
المجموعة IN مستقرة بالقانون +
2) نعتبر (IR;-) لدينا ℤ⊂IR
المجموعة ℤ مستقرة بالقانون -
3) المجموعة IN ليست مستقرة بالقانون - لان 2∈IN والعنصر 3∈IN
ولكن 2-3∉IN
4) P_imp: مجموعة الاعداد الفردية ليست مستقرة بالقانون +
مثال مضاد 5∈P_imp ; 3∈P_imp
لكن 5+3=8 ليس عددا فرديا
5) P_imp مستقرة بالقانون ×

2.2 قانون مستخرج

لتكن (E;*) مجموعة مرتبطة ب LCI و F⊂E, اذا كانت F مستقرة ب LCI * وخاصيات * في E تبقى صحيحة في F نقول اذن * قانون مستخرج من E في F