Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul intégral (1)

Exercice 1 tp

Calculer l'integrale suivante

2

1
2(2x-1)(x²-x+5)dx
Correction

La fonction f: x→2(2x-1)(x²-x+5) est continue sur [1;2] donc elle admet des fonctions primitives
On remarque que (x²-x+5)'=2x-1 donc
f(x) = 2(x²-x+5)'(x²-x+5)
=[(x²-x+5)²]'

Et donc

2

1
f(x)dx=[(x²-x+5)²]2
1

= 49-25 = 24
Ainsi

2

1
2(2x-1)(x²-x+5)dx = 24
Exercice 2 tp

Calculer l'integrale suivante

I = 0

-1
2x+1dx
√(x²+x+1)
Correction

La fonction

f: x→ 2x+1
√(x²+x+1)

est continue sur [-1 ; 0] donc elle admet des fonctions primitives

On remarque que (x²+x+1)'=2x+1 donc

f(x) = (x²+x+1)'dx
√(x²+x+1)

⇔ f(x) = 2(√(x²+x+1))'

Et donc

I = 2[√(x²+x+1)] 0
-1

= 2 - 2 = 0
Ainsi I = 0

Exercice 3 tp

Calculer l'integrale suivante

π/2

cosx.sinx dx
Exercice 4 tp

Calculer l'integrale suivante

J = e

1
1dx
x(1+lnx)
Correction

La fonction f définie par

f(x) = 1
x(1+lnx)

est définie et continue sur [1 ; e] donc elle admet des fonctions primitive .
On remarque que ∀x∈ [1 ; e]

(1+lnx)' = 1
x
Donc 1 = (1+lnx)'
x(1+lnx)1+lnx

Ainsi

J = [ln(1+lnx)]e
1
= ln(2)
Exercice 5 tp

Calculer l'integrale suivante

K = 0

-1
x+1dx
x²+2x+2
Correction

On remarque que
(x²+2x+2)'=2x+2=2(x+1)

K = 1 [ln|x²+2x+2|]0
-1
2
= 1 ln(2) - ln(1)
2

Ainsi K = ln(√(2))