Calcul Intégral (4)
2.2 Intégration par parties
2.2.1 Rappel
Soient f et g deux fonctions dérivable sur un intervalle [a;b].
(∀x∈I): (fg)'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)
ou encore
f'(x).g(x)=(fg)'(x)-f(x)g'(x).
2.2.2 Propriété
Soient f et g deux fonctions dérivables sur [a;b].
| b ∫ a |
f'(x).g(x)dx |
| = [f(x)g(x)] | b a |
- | b ∫ a |
f(x).g'(x) dx |
Exemple Calculer l'intégale suivante
| I = | 2 ∫ 1 |
2x.lnx dx |
Correction On pose
| u'(x) = 2x | v(x) = | lnx | |
| u(x)= x² | v'(x)= | 1 | |
| x |
| I = | [x²lnx] | 2 1 |
- | 2 ∫ 1 |
x² | dx |
| x |
| = 4ln2 -0 | - | 2 ∫ 1 |
x dx |
| = 4ln2 - | 1 | [x²] | 2 1 |
| 2 |
ainsi
| I = 4ln2 - | 3 |
| 2 |
Exercice 1 tp
Calculer l'intégale suivante
| J = | ln2 ∫ 0 |
(2x+1).ex dx |
Correction
| J = | ln2 ∫ 0 |
2x.exdx + | ln2 ∫ 0 |
ex dx |
| J = | K | + | [ex] | ln2 0 |
J = K+1 on calcule
| K = | ln2 ∫ 0 |
2xex dx |
on pose
| u(x) = 2x | v'(x) = ex | |
| u'(x)= 2 | v(x) = ex |
| K = [2xex] | ln2 0 | - | ln2 ∫ 0 |
2exdx |
| = | 4ln2-0 | - | [2ex] | ln2 0 |
donc K = 4ln2 -2 .
ainsi J = 4ln2 -2+1 = 4ln2 -1.
Exercice 2 tp
Calculer l'intégale suivante
| 2 ∫ 1 |
x.lnx | dx |
Exercice 3 tp
Calculer l'intégale suivante
| ln2 ∫ 0 |
(2x+1).ex | dx |