حساب التكامل (2)
4- تقنيات حساب التكامل :
4.1 استعمال مباشر للدوال الاصلية
مثال 1
| 1 ∫ 2 | 2(2x-1)(x²-x+5) dx |
تصحيح
نلاحظ ان
f(x)=2(x²-x+5)'(x²-x+5)=[(x²-x+5)²]'
اذن
| 2 ∫ 1 |
f(x)dx=[(x²-x+5)²] | 2 1 |
=49-25=24 |
تمرين 1
احسب
| 3 ∫ 0 | 2x+1 | dx |
| √(x²+x+4) |
تمرين 2
احسب
| π/2 ∫ -π | cosx.sinx dx |
تمرين 3
احسب
| e ∫ 1 | 1 | dx |
| x(1+lnx) |
تصحيح :
لدينا
| (1+lnx)'= | 1 |
| x |
اذن
| 1 | = | (1+lnx)' | |
| x(1+lnx) | 1+lnx |
ومنه فان
| e ∫ 1 | 1 | dx=[ln(1+lnx)] | e 1 |
=ln(2) |
| x(1+lnx) |
تمرين 4
احسب التكامل التالي
| K= -1∫0 | x+1 | dx |
| x²+2x+2 |
تصحيح
نلاحظ ان (x²+2x+2)'=2x+2=2(x+1)
اذن -1∫0f(x)dx=0,5ln|x²+2x+2|
K= 0,5.ln2 -0=ln(√(2)).
4.2 التكامل بالاجزاء
لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على المجال I=[a;b]
لدينا ∀x∈I: (fg)'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)
اي
f'(x).g(x)=(fg)'(x)-f(x)g'(x)
4.2.1 خاصية
لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على المجال I=[a;b]
| b ∫ a | f'(x).g(x)dx |
| = [f(x)g(x)] | b a | - | b ∫ a | f(x).g'(x) dx |
تمرين 1
احسب التكامل التالي
| I= | 2 ∫ 1 | 2x.lnx dx |
تصحيح
حساب I
| u'(x)= 2x | ; | v(x)=lnx |
| u(x)= x² | ; | v'(x)=1/x |
| I= [x²lnx] | 2 1 | - | 2 ∫ 1 | x².1/x dx |
| = 4ln2 -0 | - | 2 ∫ 1 | x dx | |
| = 4ln2 | - | [(1/2)x²] | 2 1 |
اذن I=4ln2 -2+1/2=4ln2 - 1,5
تمرين 2
احسب التكامل التالي
| J= | ln2 ∫ 0 | (2x+1).ex dx |
تصحيح
| J= | ln2 ∫ 0 |
2x.exdx + | ln2 ∫ 0 |
ex dx |
| J= | J1 | + | [ex] | ln2 0 |
J=J1+1
نحسب
| J1= | ln2 ∫ 0 | 2xex dx |
| u(x)= 2x | ; | v'(x)=ex |
| u'(x)= 2 | ; | v(x)=ex |
| J1= [2xex] | ln2 0 | - | ln2 ∫ 0 | 2exdx |
| = 4ln2-0 | - | [2ex] | ln2 0 |
ومنه فان J=4ln2 -2+1=4ln2 -1
تمرين 3
احسب التكامل التالي
| K= | π ∫ 0 | x².cos xdx |
تصحيح
حساب K
| u(x)= x² | ; | v'(x)=cosx |
| u'(x)= 2x | ; | v(x)=-sinx |
| K= [-x²sinx] | π 0 | - | π ∫ 0 | -2xsinxdx |
| = 0-0 | + | π ∫ 0 | 2xsinxdx |
=0+K2
نقوم مرة ثانية بمكاملة بالاجزاء للتكامل
| K2= | π ∫ 0 | 2x.sinx dx |
| u(x)= 2x | ; | v'(x)=sinx |
| u'(x)= 2 | ; | v(x)=cosx |
| K2= [2xcosx] | π 0 | - | π ∫ 0 | 2cosxdx |
| =-2π-0 | - | [2sinx] | π 0 |
K2=-2π ومنه فان K=0-2π=-2π