1- الزمرة

1.1 تعريف وخاصيات

1.1.1 تعريف

لتكن (G;*) مجموعة مزودة ب LCI *
نقول ان G زمرة بالنسبة LCI * اذا تحققت الشروط التالية
1. * تقبل عنصرا محايدا نرمز له ب e في G
2. * تجميعية G
3. ∀x∈G: مماثل ب *

1.1.2 ملاحظة

اذا كانت (G;*) زمرة والقانون * تبادلي فان نقول ان G زمرة تبادلية

1.1.3 امثلة

(IN;+) ; (ℤ;+) ; (IQ;+) ; (IR;+) و (C;+) زمرات تبادلبة
(IR;×) ليست زمرة

لان 0 ليس له مماثل اي ليس له مقلوب

1.2 قاعدة الحساب في زمرة

1.2.1 خاصيات

لتكن (G;*) زمرة عنصرها الحايد e
a;b;c;d∈G و p;q∈IN*
a°=e ; a^p=a*a*..*a ; p من العوامل المتساوية ل a
a^p+q=a^p*a^q ; (aⁿ)^m=a^p.q
بالاضافة الى ذلك G تبادلبة اذن (a*b)^p=a^p*a^p

1.2.2 خاصية

كل عنصر من الزمرة (G;*) منتظم بالقانون *

برهان

ليكن a عنصرا من (G;*)
ليكن (x;y)∈G² / a*x=a*y
لدينا: G زمرة اذن a يقبل مماثل a'
اي a'*(a*x)=a'*(a*y) وبما ان * تجميعية فان
(a'*a)*x=(a'*a)*y اي e*x=e*y ومنه فان x=y
وبنفس الطريقة لدينا x*a=y*a⇒x=y اذن a منتظم في (G;*)

1.2.3 خاصية

a^-1 و b^-1 مماثلان على التوالي ل a و b في زمرة (G;T) عنصرها المحايد e
(aTb)^-1=b^-1Ta^-1
(a^-1)^-1=a
a^-p=(a^-1)^p

برهان

لدينا : (aTb)T(b^-1Ta^-1) ⇒aT(bTb^-1)Ta^-1 لان القانون T تجميعي
⇒aTeTa^-1= aTa^-1=e
و (b^-1Ta^-1)T(aTb) ⇒b^-1T(a^-1Ta)Tb لان القانون T تجميعي
⇒b^-1TeTb= b^-1Tb=e
ومنه فان (aTb)^-1=b^-1Ta^-1

1.3 زمرة فرعية

1.3.1 تعريف

لتكن (G;*) زمرة عنصرها المحايد e و H جزء من (G.*)
(H;*) زمرة فرعية من G اذا تحققت الشروط التالية
1. ∈H
2. ∀(x;y)∈H²: x*y∈H
3. ∀x∈H : x'∈H ,(x' مماثل للعنصر x)

امثلة

(ℤ;+) زمرة فرعية للزمرة (IR;+), (IR;+) زمرة فرعية للزمرة (ℂ;+)

1.3.2 خاصية

لتكن (G;*) زمرة عنصرها المحايد e و H⊂G
(H;*) زمرة فرعية من G يكافئ
e∈H
و ∀(x;y)∈H²: x*y'∈H
حيث (y' مماثل y في G)

تمرين 1

ليكن n∈IN
و nℤ={nk / k∈ℤ} بين ان (nℤ;+) زمرة

تمرين 2

لتكن 𝕌={z∈ℂ/ |z|=1}
بين ان (𝕌;×) زمرة

تمرين 3

لتكن 𝕌_n={z∈ℂ/ zⁿ=1} مجموعة الجذور من الرتبة n للوحدة
بين ان (𝕌_n;×) زمرة

1.4 تشابه زمرتين

1.4.1 خاصية

اذا كانت (G;*) زمرة و f تشابه من (G;*) نحو (k;T)
فان (f(G);T) هي كذلك زمرة
بالاضافة الى ذلك اذا كان القانون * تبادلي فان (f(G);T) زمرة تبادلية

1.4.2 تعريف

لتكن f تطبيقا من (G;*) نحو (G';T)
نقول ان f تشابه زمرات اذا كانت f تشابه من الزمرة (G;*) نحو الزمرة (G';T)

تمرين

لتكن f: (IR;+)→(Ro;o) التي تربط كل عنصر x بدوران زاويته x ومركزه O
بين ان f تشابه زمرات

1.4.3 خاصية

لتكن f: (G;*)→(G';T) تشابه زمرات و e العنصر المحايد للزمرة G و e' العنصر الحايد للزمرة G' لدينا :
1) f(e)=e'
2) ∀x∈G : f(x^-1)=(f(x))^-1

مثال

نعين ب x^-1 لمماثل x ب LCI .
لتكن f: (IR*+; ×)→(IR;+)
معرفة بما يلي ∀x∈IR*+: f(x)=lnx
لدينا: f(1)=0 و f(x^-1)=-lnx=-f(x)

ملاحظة

1) LCI ×:
مماثل ل x هو x^-1=1/x
2) la LCI +:
مماثل ل y=f(x) هو y^-1= -y=-f(x)

1.5 زمرتان متماثلثان

1.5.1 تعريف

نقول ان زمرتين (G;*) و (G';T) متماثلثان اذا وجد تشابه تقابلي f من (G;*) نحو (G';T)

مثال

(IR*+ ; ×) و (IR;+) زمرتان متماثلثان لانه يوجد تماثلا ln معرفا من (IR*+ ; ×) نحو (IR;+)

1.5.2 خاصية

لتكن f: (G;*)→(G';T) تماثل زمرات
H زمرة فرعية ل G ⇔ f(H) زمرة فرعية ل G'

1.5.3 خاصية

اذا كانت f: (G;*)→(G';T) تماثل زمرات فان f^-1 (G';T)→(G;*) ايضا تماثل زمرات

مثال

ln و exp تماثل زمرات
ln: (IR*+ ; ×)→ (IR;+) و ln^-1=exp: (IR;+)→(IR*+ ; ×)