4- Espace vectoriel réel et sous espace vectoriel

4.1 Espace vectoriel réel

4.1.1 Loi de composition externe

Définition
Soient E et K deux ensembles non vides.
Toute application f définie de K×E vers E est appelée loi de composition extèrne (LCE) dans E à coefficient dans K.

Notation
Une LCE f est notée par un point ' . '
donc au lieu d'écrire f(a;x) on écrit a.x (ou ax).
L'ensemble E muni d'une LCE "."
est noté (E ; .).

Exemples
1) L'application de IR×V₂ dans V₂ définie par
(k;u^→)↦k.u^→ est une LCE dans V₂ à coefficients réels.

2) L'application de IR×V₃ vers V₃ définie par
(k;u^→)↦k.u^→ est une LCE dans V₃ à coefficients réels.

3) Soit ℙ(IR ; IR), ensemble des polynômes.
L'application de (IR×ℙ) vers ℙ définie par
(a;p)↦a.p est une LCE à coefficients réels.

4) L'application de (IR×M₂) vers M₂ définie par
(a;A)↦a.A est une LCE à coefficients réels.
5) L'application de (IR×M₃) vers M₃ définie par
(a;A)↦a.A est une LCE à coefficients réels.

4.1.2 Espace vectoriel

Définition
Soit E un ensemble muni d'une LCI + et d'une LCE "." à coefficients réels.
(E;+;.) est un espace vecoriel réel si:
1) (E;+) est un groupe commutative d'élément neutre 0_E
2) (∀(x;y)∈E²) (∀(a;b)∈IR²)

Exemples
(ℂ;+;.) ; (M₂;+;.) ; (M₃;+;.)
(V₂;+;.) ; (V₃;+;.) sont des espaces vectorils réels.

4.1.3 Règles de calcul dans un espace vectoriel réel

Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel.
1) (∀x∈E): 0.x = 0_E et (-1).x = -x .
2) (∀(a;b)∈IR²):
(a-b).x=a.x-b.x et a.(-b.x)=-ab.x.

3) (∀a∈IR)(∀(x;y)∈E²): a.(x-y)=a.x-a.y.

Exemples
(∀u^→∈V₂): 0.u^→=O^→
et (-1).u^→=-u^→

4.2 Sous espace vectoriel réel

4.2.1 Définition

Soient (E;+;.) un espace vectoriel réel et F⊂E.
On dit que F est un sous espace vectoriel de E si
1) F≠∅ (0_E∈F).
2) (∀(x;y)∈F²): x+y∈F.
3) (∀a∈IR): ax∈F.

Exemples
1) (IR;+;.) est un sous espace vectoriel de (ℂ;+;.).
2) La droite vectoriel F={au^→/ a∈IR} est un sous espace vectoriel du plan.