Mathématiques du secondaire qualifiant

Equations Différentielles (1)

Rappel
Soient a;b;c∈IR tel que a≠0
1) L'ensemble de solutions de l'équation différentielle
(E1): y' = ay + b est l'ensemble des fonctions y définies par

y = keax - b (k∈IR)
a

2) Pour tous réels u et v il existe une solution unique de l'équation différentielle
(E1): y' = ay + b qui vérifie la condition y(u) = v

Exercice 1

1) Résoudre l'équations différentièlle suivantes
(E1): y' = -4y
2) Déterminer la solution f de l'équation (E1) tel que f(2)=-2

Correction

1) On a a≠0 donc les solutions de l'équations différentièlle (E1) sont les fonctions y définies par
y = ke-4x tel que k∈IR

2) La fonction f est la solution de l'équation (E1) tel que f(2)=-2 donc
y(2) = -2 ⇔ -2 = ke-4.2

⇔ k = -2 = -2e8
e-8

Ainsi f(x) = -2e8.e-4x
Alors f(x) = -2e-4x + 8

Exercice 2

1) Résoudre l'équations différentièlle suivantes
(E1): y' = 2y + 5
2) Déterminer la solution f de l'équation (E1) tel que f(1)=-2

Correction

1) On a a≠0 donc les solutions de l'équations différentièlle (E1) sont les fonctions y définies par

y = ke2x - 5 tel que k∈IR
2

2) La fonction f est la solution de l'équation (E1) tel que f(1)=-2 donc

y(1) = -2 ⇔ -2 = ke2 - 5
2
⇔ ke2 = -2 + 5 ⇔ k = 1 e-2
22
Ainsi f(x) = 1e2x-2 - 5
22
Exercice 3

1) Résoudre l'équations différentièlle suivantes
(E1): (ln2)y' + (ln4)y + ln(8) = 0
2) Déterminer la solution f de l'équation (E1) tel que f(1)=-2

Correction

1) (E1) ⇔ (ln2)y' +(ln2²)y + ln2³ = 0
⇔ (ln2)y' + 2(ln2)y + 3ln(2) = 0
⇔ (ln2)(y' + 2y + 3) = 0
ln(2)≠0 donc (E1) ⇔ y' + 2y + 3 = 0
⇔ y' = -2y - 3

a=-2≠0 donc les solutions de l'équations différentièlle (E1) sont les fonctions y définies par

y = ke-2x - -3 tel que k∈IR
2

ou encore

y = ke-2x + 3 tel que k∈IR
2

2) La fonction f est la solution de l'équation (E1) tel que f(1)=-2 donc

y(1) = -2 ⇔ -2 = ke2 - 5
2
⇔ ke2 = -2 + 5 ⇔ k = 1 e-2
22
Ainsi f(x) = 1e2x-2 - 5
22