Mathématiques du secondaire qualifiant

2.3 Angle de deux vecteurs

Soient p^→ et q^→ deux vecteurs.
1) (p^→ ; q^→) = (p^→;u^→) + (u^→ ; q^→)
= (u^→ ; q^→) - (u^→ ; p^→) donc
(p ; q) =(u ; q) - (u ; p) + 2kπ avec k∈ℤ.
2) aff(p^→ + q^→) = aff(p^→) + aff(q^→).
3) aff(kp^→) = kaff(p^→) .
4) affAB^→ = aff(B) - aff(A).
5) AB = | aff(B) - aff(A) |.

2.3.1 Propriété

Soient A(a); B(b); C(c) et D(d) quatre points distincts.
(u^→ ; AB^→) = argz'-argz+2kπ avec k∈ℤ.

(AB^→ ; CD^→) ≡ arg	d-c	[2π]
	b-a

2.3.2 Alignement de trois points

Trois points distincts A(a) ; B(b) et C(c) sont alignés ⇔ (∃t∈IR): AC^→ = tAB^→

⇔	c-a	= t∈IR
	b-a

Propriété

Trois points distincts A(a) ; B(b) et C(c) sont alignés

⇔	c-a	∈IR
	b-a

⇔arg	c-a	=0 ou π+2kπ avec k∈ℤ
	b-a

Résultat (AB)⊥(CD)⇔

arg	c-a	≡	π	ou	-π	[2π]
	b-a		2		2

Exercice 1 tp

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u^→;v^→), on considère trois points A(a) ; B(b) ; C(c) tels que a=1

b=	1	- i	√3
	2		2
c=	1	+ i	√3
	2		2

1) Calculer les distances AB ; AC et BC.

2) Déterminer une mesure de l'angle
(AB ; AC).

Correction

1) AB=|b-a|=|(0,5-1)-i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)
Ainsi AB = 1
AC=|Zc-Za|=(0,5-1)+i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)
Ainsi AC = 1
BC=|Zc-Zb|=|(0,5-0,5)+i(√3)|
Ainsi BC = 3.

2) On a

(AB^→ ; AC^→) ≡ arg	c-a	[2π]
	b-a

≡ arg	-0,5+i(0,5)√3	[2π]
	-0,5-i(0,5)√3

≡ arg(-0,5+i(0,5)√3)
- arg(-0,5-i(0,5)√3)

≡	2π	-	(-2π)
	3		3

Donc

(AB^→ ; AC^→) =	4π	+2kπ avec k∈ℤ
	3

ou encore