تمرين 22 tp

(u_n)n≥0 متتالية معرفة كما يلي

∀n∈IN; un+1 =	1	(un+	4	) ; u0=3
	2		un

1) بين ان ∀n∈IN; u_n > 0
2) (q1) بين ان

∀n∈IN; un+1 -2 =	1	.	(un-2)²
	2		un

(q2) بين ان ∀n∈IN; u_n > 2

3) (q1) بين ان

∀n∈IN; un+1 -2 =	1	(un-2)+	2	-1
	2		un

(q2) استنتج ان

∀n∈IN; un -2 < (	1	)n
	2

تصحيح

1) بالترجع لدينا u₀=3>0
نفترض ان u_n> 0 ونبين ان u_n+1> 0

un > 0 ;	4	> 0 لدينا
	un

un+1 =	1	(un+	4	)> 0 اذن
	2		un

وبالتالي ∀n∈IN; u_n > 0
2) (q1) لدينا

un+1-2 =	1	(un+	4	) - 2
	2		un
=	1	(un+	4	- 4)
	2		un
=	1	(	un²-4un+4	)
	2		un
=	1	.	(un - 2)²
	2		un

∀n∈IN; un+1 -2 =	1	.	(un-2)²
	2		un

(q2) نبين بالترجع ان ∀n∈IN; u_n > 2
u₀=3 > 2
نفترض ان u_n > 2 ونبين ان u_n+1> 2

لدينا u_n > 2 ⇔ u_n - 2 > 0
اذن (u_n - 2)²> 0 و u_n > 0 و منه فان

un+1 -2 =	1	.	(un-2)²	> 0
	2		un

وبالتالي ∀n∈IN; u_n > 2

3) (q1)

un+1-2 =	1	(un+	4	) - 2
	2		un

=	1	(un+	4	- 4)
	2		un
=	1	(un-2 +	4	- 2)
	2		un
=	1	(un - 2) +	2	-1
	2		un

(q2) لدينا

un > 2 ⇒ 0 <	2	< 1
	un
⇒ -1 <	2	- 1 < 0
	un

سالب	2	- 1 اذن
	un

ومنه فان

∀n∈IN; un+1 -2 <	1	(un-2)
	2

وبجمع طرفي المتفاوتات التالية طرف طرفا

u1 -2 <	1	(u0-2)
	2
u2 -2 <	1	(u1-2)
	2
u3 -2 <	1	(u2-2)
	2
"" ""	""	"" ""
un -2 <	1	(un-1-2)
	2

وبعد الاختزال نستنتج ان