Produit vectoriel (3)
Exercice 1 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct
(O;i→;j→;k→).
On considère dans 𝔼 une droite
(D) définie par
| { | x+2z+2=0 |
| 2x-y+2z+4=0 |
1) Déterminer un vecteur directeur de la droite (D).
2) Vérifier que A(0;2;-1)∈(D).
3) Calculer la distance du point Ω(-1;2;0) à (D).
4) Déduire une équation cartésienne de la sphère (S) de centre Ω pour que la droite (D) lui soit tangente au point H qui doit être déterminé.
Correction
1) x+2z+2=0 est une équation d'un plan P de vecteur normal n→(1;0;2).
2x-y+2z+4=0 est une équation d'un plan Q de vecteur normal m→(2;-1;2).
Si m→=kn→ alors 2=k ; -1=0 et 1=k
et ce n'est pas possible.
n→ et m→ ne sont donc pas colinéaires
d'où (D) est une droite de vecteur directeur n→∧m→=u→.
2) On a 0+2.(-1)+2=0 donc A∈P
et 2.0-2+2.(-1)+4=0 donc A∈Q.
d'où A∈P∩Q=(D).
Propriété
Soient P et Q deux plans se coupent selon une droite (D)
et (Δ1) et (Δ2) deux droites
Si (Δ1)⊥P et (Δ2)⊥Q alors (D)⊥(Δ1) et (D)⊥(Δ2).
On détermine le vecteur u→
| n→∧m→= | i→ | 1 | 2 | |
| j→ | 0 | -1 | ||
| k→ | 2 | 2 |
| = | 0 | -1 | i→ | - | 1 | 2 | j→ | + | 1 | 2 | k→ | ||
| 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | -1 | ||||||||
=2i→+2j→-k→
donc n→∧m→(2;2;-1)
ainsi u→(2;2;-1).
3) Notons que la distance d'un point B à une droite D(A;u→) est définie par
| d(B;(D)) = | || AB→∧u→ || |
| ||u→|| |
donc
| d(Ω;(D)) = | || AΩ→∧u→ || |
| ||u→|| |
| AΩ→∧u→= | i→ | -1 | 2 | = |
| j→ | 0 | 2 | ||
| k→ | 1 | -1 |
| 0 | 2 | i→ | - | -1 | 2 | j→ | + | -1 | 2 | k→ | |||
| 1 | -1 | 1 | -1 | 0 | 2 | ||||||||
=-2i→+j→-2k→
donc AΩ→∧u→(-2;1;-2)
d'où d(Ω;(D))=3÷3=1.
4) (D) tangente à (S) signifie R=d(Ω;(D))
donc (x+1)²+(y-2)²+z²=1
d'où x²+y²+z²+2x-4y+4=0 est une équation cartésienne de la sphère (S) de centre Ω et de rayon R=1.
Pour déterminer H il suffit de résoudre le système
| { | x²+y²+z²+2x-4y+4= 0 | (t∈IR) |
| x=0+2t | ||
| y=2+2t | ||
| z=-1-t |
en remplace les valeurs de x ; y et z dans l'équation de la sphère
on obtient (3t+1)²=0 ou encore t=-1÷3
donc
| H( | -2 | ; | 4 | ; | -2 | ) |
| 3 | 3 | 3 |