Mathématiques du secondaire qualifiant

Etude des fonctions numériques (1)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =1 x³-2x²+3x-2
3

et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i;j).
1) Calculer les limites suivantes


lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

2) Déterminer les branches infinies de (C).

3) (a) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
(b) Déduire les extremums de f.
4) Tracer la courbe (C) et résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≤0.

Correction

1) f est un polynôme donc D=IR.


lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
1 x³= - ∞
3

lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
1 x³= + ∞
3

2) Branches infinies. On a


lim
-∞
f(x) = -∞

lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
=
lim
-∞
x 3x 3

donc


lim
-∞
f(x) = +∞
x

ainsi (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de -∞.

On a


lim
+∞
f(x) = +∞

lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
=
lim
+∞
x 3x 3

donc


lim
+∞
f(x) = + ∞
x

ainsi (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de +∞.

3) (a) f est un polynôme donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=x²-4x+3.
f'(x)=0 ⇔ (x-1)(x-3)=0
⇔ (x=1 ou x=3)
et puisque a=1>0 alors f est strictement croissante sur ]-∞;1]
strictement croissante sur [3;+∞[ et strictement décroissante sur [1;3].

x -∞ 1 3 +∞
f'(x) + 0 - 0 +
f

-∞

-2/3


-2

+∞

(b) f est strictement croissante sur ]-∞;1]
et strictement décroissante sur[1;3]
donc (-2/3) est une valeur maximale de f en 1.
f est strictement décroissante sur [1;3]
et strictement croissante sur [3;+∞[
donc -2 est une valeur minimale de f en 3.

4) la courbe

La courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un seul point donc l'équation admet une seule solution α tel que 4<α<5.
(b) L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<0 est l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui sont au dessous de l'axe des abscisses.
ainsi S=]-∞;α[.